Propiedades de potenciación - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Usamos la propiedad de potenciación del cero.

$X^0=1$ Obtenemos

$112^0=1$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}$Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

Primero tengamos en cuenta que:

$10=10^1$Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

$10^1\cdot10^2\cdot10^{-4}\cdot10^{10}=10^{1+2-4+10}=10^9$

$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{12^3}=12^{-3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Para resolver $(4^3)^2$, usamos la regla de la potencia de una potencia que establece que $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Aquí, $a = 4$, $m = 3$, y $n = 2$.

Entonces, calculamos $4^{3 \cdot 2}$,

que se simplifica a $4^6$.

Utilizamos la fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

$(2^2)^3+(3^3)^4+(9^2)^6=2^{2\times3}+3^{3\times4}+9^{2\times6}=2^6+3^{12}+9^{12}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{2^9}=2^{-9}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Para resolver la expresión dada $(2^3)^6$, aplicamos la regla de potencia de una potencia $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Aquí, $a = 2$, $m = 3$, y $n = 6$.

Por lo tanto, calculamos el exponente:

$3 \cdot 6 = 18$

Entonces, $(2^3)^6 = 2^{18}$.

Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Lo aplicamos en el problema:

$\frac{2^4}{2^3}=2^{4-3}=2^1$Recordemos que todo número elevado a la 1ª potencia es igual al número mismo, es decir que:

$b^1=b$Por lo tanto en el problema obtenemos:

$2^1=2$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Utilizamos la ley de potencias para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$

Aplicamos la propiedad en el problema:

$(9\cdot2\cdot5)^3=9^3\cdot2^3\cdot5^3$

Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis al producto de los términos a cada término del producto por separado y mantenemos la multiplicación,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Para resolver este ejercicio, primero debemos reconocer que 25 es el resultado de una potencia y necesitamos llevarlo nuevamente a una base común de 5.

$\sqrt{25}=5$$25=5^2$Ahora, nos ubicamos en el ejercicio inicial y resolvemos sumando las potencias según la fórmula:

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

$5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6$

Usando la regla del cociente para exponentes: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Aquí, tenemos $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2}$. Simplifying, we get $3^3$.

Utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Lo aplicamos en el problema:

$(3\cdot4\cdot5)^4=3^4\cdot4^4\cdot5^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos de la multiplicación entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la ley anterior es válida para una potencia sobre una multiplicación de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Primero reconocemos que 81 es una potencia del número 3, lo que significa que:

$3^4=81$Reemplazamos en el problema:

$\frac{81}{3^2}=\frac{3^4}{3^2}$Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Lo aplicamos en el problema:

$\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de potencias.$(a^n)^m=a^{n\cdot m}$

Utilizamos la propiedad con el ejercicio específico y resolvemos:

$(3^5)^4=3^{5\times4}=3^{20}$

Utilizamos la fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

$(4^2)^3+(g^3)^4=4^{2\times3}+g^{3\times4}=4^6+g^{12}$