Multiplicación de potencias - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de multiplicación de potencias con bases iguales:

$a^n * a^m = a^{n+m}$

Con la ayuda de esta propiedad podemos sumar conectar los exponentes.

$4^2\times4^4=4^{4+2}=4^6$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}$Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

$2^{10}\cdot2^7\cdot2^6=2^{10+7+6}=2^{23}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

De acuerdo a la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base multiplicadas entre sí, se deben sumar los exponentes.

Según la fórmula:$a^n\times a^m=a^{n+m}$

Es importante recordar que un número sin potencia equivale a un número elevado a 1, no a 0.

Por lo tanto, si sumamos los exponentes:

$7^{9+1}=7^{10}$

Todas las bases son iguales y por lo tanto se pueden sumar los exponentes.

$8^2\cdot8^3\cdot8^5=8^{10}$

Usamos la propiedad de potenciación:

$a^m\cdot a^n=a^{^{m+n}}$

Lo que significa que al multiplicar entre números idénticos elevados a alguna potencia (es decir, bases idénticas elevadas a potencias no necesariamente idénticas) se permite insertar en la misma base y sumar los exponentes de los números,
Aplicamos esta propiedad al problema:

$a^4\cdot a^5=a^{4+5}=a^9$

Tengamos en cuenta una cosa importante, que esta solución también se puede explicar verbalmente, porque elevar una potencia significa multiplicar el número (la base) por sí mismo como el número de veces que indica el exponente, y por lo tanto la multiplicar$a$por sí mismo 4 veces y multiplicar el resultado por el resultado de la multiplicación$a$por sí mismo 5 veces es como duplicar $a$por sí mismo 9 veces, es decir, la multiplicación entre números idénticos (bases idénticas) elevados a potencias, no necesariamente identidad, se puede calcular ingresando la misma base (mismo número) y sumando los exponentes.

En este caso tenemos 2 bases diferentes, por lo que sumaremos lo que se puede sumar, es decir, los exponentes de $3$

$3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=2^x\cdot3^{3x}$

Para resolver este ejercicio, primero debemos reconocer que 25 es el resultado de una potencia y necesitamos llevarlo nuevamente a una base común de 5.

$\sqrt{25}=5$$25=5^2$Ahora, nos ubicamos en el ejercicio inicial y resolvemos sumando las potencias según la fórmula:

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

$5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6$

Primero usamos la ley de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$7^5\cdot7^{-6}=7^{5+(-6)}=7^{5-6}=7^{-1}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y luego simplificamos la expresión en el exponente,

A continuación, usamos la propiedad de potencias negativas:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y lo aplicamos en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$7^{-1}=\frac{1}{7^1}=\frac{1}{7}$Resumimos la solución al problema: $7^5\cdot7^{-6}=7^{-1}=\frac{1}{7}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Tenga en cuenta que es necesario calcular una multiplicación entre términos con bases idénticas, por lo tanto usaremos la propiedad de potencia adecuada:

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$Tenga en cuenta que en esta propiedad solo se puede utilizar para calcular la multiplicación entre términos con bases idénticas,

Lo aplicamos en el problema:

$a^3\cdot a^4=a^{3+4}=a^7$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Tengamos en cuenta que es necesario calcular una multiplicación entre términos con bases idénticas, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación adecuada:

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad solo se puede utilizar para calcular la multiplicación entre términos con bases idénticas,

A partir de ahora ya no indicamos el signo de multiplicación, sino que utilizamos la forma aceptada de escritura en la que colocar términos uno al lado del otro significa multiplicación.

Lo aplicamos en el problema:

$x^2x^5=x^{2+5}=x^7$Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Primero nos ocupamos del primer término de la multiplicación, tengamos en cuenta que los términos del numerador y del denominador tienen bases idénticas, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con la misma base:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos el primer término de la expresión:

$\frac{a^{3b}}{a^{2b}}\cdot a^b=a^{3b-2b}\cdot a^b=a^b\cdot a^b$Cuando simplificamos adicionalmente la expresión que obtuvimos como resultado de la operación de resta en el exponente del primer término,

Posteriormente, tengamos en cuenta que los dos términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esto al problema:

$a^b\cdot a^b=a^{b+b}=a^{2b}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero usamos la ley de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$12^4\cdot12^{-6}=12^{4+(-6)}=12^{4-6}=12^{-2}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y luego simplificamos la expresión en el exponente,

A continuación, usamos la propiedad de potencias negativas:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y lo aplicamos en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$12^{-2}=\frac{1}{12^2}=\frac{1}{144}$Resumimos la solución al problema: $12^4\cdot12^{-6}=12^{-2} =\frac{1}{144}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Como las bases son iguales, se pueden sumar los exponentes:

$2x+1+5+3x=5x+6$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Aplicamos esta propiedad en el problema:

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}= 300^{-4}\cdot(300^{-1})^{-4}$Cuando aplicamos la mencionada propiedad de potenciación en el segundo término de la multiplicación, entendiendo que:

$300^{-1}=\frac{1}{300}$A continuación, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$$$300^{-4}\cdot(300^{-1})^{-4} =300^{-4}\cdot300^{(-1)\cdot(-4)}=300^{-4}\cdot300^{4}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad de potenciación mencionada y luego simplificamos la expresión resultante,

Resumiendo la resolución al problema hasta aquí, obtuvimos que:

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}= 300^{-4}\cdot(300^{-1})^{-4} =300^{-4}\cdot300^{4}$Continuamos y recordamos la propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$300^{-4}\cdot300^{4} =300^{-4+4}=300^0$Posteriormente recordamos que elevar cualquier número a la potencia de cero (excepto el número 0) dará como resultado 1, es decir que:

$X^0=1$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$300^0 =1$Resumiendo los pasos de resolución, obtenemos que:

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}= 300^{-4}\cdot300^{4} =300^0=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Empecemos simplificando el segundo término de la multiplicación total, es decir de la fracción, lo simplificamos en dos pasos:

En el primer paso, utilizamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Simplificamos el numerador de la fracción:

$\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=\frac{19^{35+(-32)}}{19^3}=\frac{19^{35-32}}{19^3}=\frac{19^3}{19^3}$A continuación, recordemos que dividir cada número por sí mismo dará como resultado 1, o usamos propiedad de potenciación para dividir entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Para obtener que: $\frac{19^3}{19^3}=19^{3-3}=19^0=1$Cuando en el último paso utilizamos el hecho de que elevar cualquier número a la potencia de 0 dará el resultado 1, es decir, matemáticamente que:

$X^0=1$Resumiendo esta parte, obtenemos que:

$\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=1$Ahora regresamos a la expresión completa del problema y colocamos este resultado en lugar de la fracción:

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=3^{-3}\cdot1=3^{-3}$En el siguiente paso recordemos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Aplicamos esta propiedad para el resultado que obtuvimos:

$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$Resumiendo todos los pasos anteriores, obtenemos que:

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=3^{-3}=\frac{1}{27}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.