Multiplicación de potencias: Uso de múltiples reglas

Primero nos ocupamos del primer término de la multiplicación, tengamos en cuenta que los términos del numerador y del denominador tienen bases idénticas, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con la misma base:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos el primer término de la expresión:

$\frac{a^{3b}}{a^{2b}}\cdot a^b=a^{3b-2b}\cdot a^b=a^b\cdot a^b$Cuando simplificamos adicionalmente la expresión que obtuvimos como resultado de la operación de resta en el exponente del primer término,

Posteriormente, tengamos en cuenta que los dos términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esto al problema:

$a^b\cdot a^b=a^{b+b}=a^{2b}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Primero reescribimos la primera expresión de la izquierda del problema como una fracción:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5$Posteriormente usamos dos propiedades de potenciación, para multiplicar y dividir términos con bases idénticas:

A.

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$2.

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Regresamos al problema y aplicamos las dos propiedades de potenciación mencionadas anteriormente:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5=a^{2-1}+a^{3+5}=a^1+a^8=a+a^8$

Más adelante tengamos en cuenta que debemos descomponer en factores la expresión que obtuvimos en el último paso extrayendo el factor común,

Por lo tanto, extraemos de fuera de los paréntesis el máximo divisor común a los dos términos que son:

$a$ Obtenemos la expresión:

$a+a^8=a(1+a^7)$cuando utilizamos la propiedad de potenciación mencionada anteriormente en A.

$$$a^8=a^{1+7}=a^1\cdot a^7=a\cdot a^7$

Resumiendo la solución al problema y todos los pasos, obtuvimos lo siguiente:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5=a(1+a^{7)}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Primero, simplifica el numerador y el denominador por separado:
Numerador: $X^4 \cdot X^3 = X^{4+3} = X^7$
Denominador: $X^5 \cdot X^2 = X^{5+2} = X^7$

Ahora, combina el numerador y denominador simplificados:

$\frac{X^7}{X^7}$

Como cualquier número dividido por sí mismo es 1, tenemos:

$\frac{X^7}{X^7} = 1$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

$1$

Nos enfocamos en el primer término del problema, es decir, la fracción,

Para ello recordamos dos propiedades de potenciación:

A. Propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$B. Propiedad de potenciación para la división entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos las propiedades de potenciación en el problema:

$$$\frac{17^{-3}\cdot17^{3x}}{17}-17x=\frac{17^{-3+3x}}{17}-17x=17^{-3+3x-1}-17x=17^{3x-4}-17x$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potenciación especificada en A arriba al numerador de la fracción y en el siguiente paso aplicamos la propiedad de potenciación especificada en B a la expresión resultante, luego simplificamos la expresión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Recordemos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$Aplicamos esta propiedad al numerador de fracción en la expresión del problema:

$\frac{a^4a^8a^{-7}}{a^9}=\frac{a^{4+8+(-7)}}{a^{^9}}=\frac{a^{4+8-7}}{a^9}=\frac{a^5}{a^9}$Cuando en el primer paso aplicamos la mencionada propiedad de potenciación y en los siguientes pasos simplificamos la expresión obtenida,

Recordemos ahora la propiedad de potenciación para la división entre términos con bases idénticas:

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Aplicamos esta propiedad para la expresión que obtuvimos en el último paso:

$\frac{a^5}{a^9}=a^{5-9}=a^{-4}$Recordemos ahora la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Aplicamos esta propiedad de potenciación en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$a^{-4}=\frac{1}{a^4}$Resumimos los pasos de la solución hasta el momento, obtuvimos que:

$\frac{a^4a^8a^{-7}}{a^9}=\frac{a^5}{a^9}=\frac{1}{a^4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Lo resolvemos en dos pasos, en el primer paso usamos la ley de potencias a la potencia de un producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Aquel que afirma que la potencia que afecta a un producto dentro de paréntesis se aplica a cada uno de los elementos del producto al abrir los paréntesis,

Aplicamos la ley en el problema:

$(y^3\cdot x^2)^4=(y^3)^4\cdot(x^2)^4$Cuando abrimos los paréntesis, aplicamos la potencia a cada uno de los términos del producto por separado, pero dado que cada uno de estos términos ya está elevado a una potencia, lo hicimos con precaución y utilizamos paréntesis.

Luego, nos usamos la ley de potencias para elevar una potencia a otra

$(b^m)^n=b^{m\cdot n}$Aplicamos la ley en el problema que obtuvimos:

$(y^3)^4\cdot(x^2)^4=y^{3\cdot4}\cdot x^{2\cdot4}=y^{12}\cdot x^8$Cuando en el segundo paso realizamos la operación de multiplicación en los exponentes de potencia de los términos obtenidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Para resolver el problema, usamos dos propiedades de exponentes, que mencionaremos:

a. La propiedad de exponentes para multiplicar potencias con las mismas bases:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$b. La propiedad de exponentes para una potencia de una potencia:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicaremos estas dos leyes de exponentes para resolver el problema en dos pasos:

Comencemos aplicando la ley de exponentes mencionada en a' a la primera expresión en el lado izquierdo del problema:

$10^{-3}\cdot10^4=10^{-3+4}=10^1=10$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de exponentes mencionada en a' y en los siguientes pasos simplificamos la expresión que se obtuvo,

Continuamos con el siguiente paso y aplicamos la ley de exponentes mencionada en b' y manejamos la tercera expresión en el lado izquierdo del problema:

$(4^2)^5=4^{2\cdot5}=4^{10}$Cuando en el primer paso aplicamos la ley de exponentes mencionada en b' y en los siguientes pasos simplificamos la expresión que se obtuvo,

Combinamos los dos pasos detallados anteriormente para la solución completa del problema:

$10^{-3}\cdot10^4-(7\cdot9\cdot5)^3+(4^2)^5= 10-(7\cdot9\cdot5)^3+4^{10}$En el siguiente paso calculamos el resultado de multiplicar los números dentro de los paréntesis en la segunda expresión de la izquierda:

$10-(7\cdot9\cdot5)^3+4^{10}= 10-315^3+4^{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta b'.

Utilizamos las tres propiedades de potencias apropiadas para resolver el problema:

1. Ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 2. Ley de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ 3. Ley de potencias para la división de términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Continuamos y aplicamos las tres leyes anteriores al problema:

$2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{5-3}=2^7+4^6+2^2$

Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias mencionada en el punto 1 a la primera expresión de la izquierda, la ley de potencias mencionada en el punto 2 a la segunda expresión de la izquierda y la ley de potencias mencionada en el punto 3 a la tercera expresión de la izquierda izquierda, por separado, y en el segundo paso simplificamos las expresiones por exponentes posesión de los términos recibidos,

Más adelante, utilizando la propiedad sustitutiva en la suma, reconocemos que la respuesta correcta es D.

Este problema se puede resolver utilizando las propiedades de potencias para una potencia negativa, potencia sobre una potencia y la propiedad de potencias para el producto entre términos con bases idénticas, que es la forma natural de la solución,

Pero aquí preferimos resolver de otra manera que es un poco más rápido:

A tal efecto, la ley de potencia por potencia se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos, pero en sentido contrario:

$x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n$ Dado que en la expresión en el problema existe una multiplicación entre dos términos con potencias idénticas, se puede utilizar esta ley en su sentido contrario, por lo que aplicaremos esta propiedad al problema:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4$ Dado que la multiplicación en el problema dado es entre términos con la misma potencia, podríamos aplicar esta ley en la dirección opuesta y escribir la expresión como la multiplicación de las bases de los términos entre paréntesis a los que se aplica la misma potencia.

Continuaremos y simplificaremos la expresión entre paréntesis, lo haremos rápidamente si notamos que entre paréntesis hay una multiplicación entre dos números opuestos, entonces su producto dará el resultado: 1, aplicaremos este entendimiento a la expresión que llegamos en el último paso:

$\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 = 1^4=1$ Cuando en el primer paso aplicamos el entendimiento anterior, y luego usamos el hecho de que elevar el número 1 a cualquier potencia siempre dará el resultado: 1, lo que significa que:

$1^x=1$ Resumiendo los pasos para resolver el problema, obtenemos que:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 =1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Primero usamos dos propiedades de potenciación:

a. Propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$b. Propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Nos ocupamos del término medio en la multiplicación del numerador de la fracción del problema:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot(2^{-1})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-1\cdot8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}$Mientras, en la primera etapa aplicamos la propiedad de potenciación negativa especificada en A al término dentro de los paréntesis del término medio en el numerador de la fracción, en la segunda etapa aplicamos la propiedad de potenciación especificada en B a este término, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente,

Continuamos y recordamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en el numerador de la fracción que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4+(-8)+10}}{2^3}=\frac{2^{-4-8+10}}{2^3}=\frac{2^{-2}}{2^3}$Recordemos ahora la propiedad de potenciación para dividir términos de bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-2-3}=2^{-5}$Resumimos los pasos de resolución hasta aquí, obteniendo que:

$\frac{2^{-4}\cdot(\frac{1}{2})^8\cdot2^{10}}{2^3}=\frac{2^{-4}\cdot2^{-8}\cdot2^{10}}{2^3} =\frac{2^{-2}}{2^3}=2^{-5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.