Simplificando Raíces

Una raíz cuadrada de cualquier número, por ejemplo √x, es en realidad un número que cuando se multiplica por sí mismo nos da $X$.
Por ejemplo:
$\sqrt{25}$
$5\cdot5=25$
Por lo tanto:
$\sqrt{25}=5$

Otro ejemplo:
$\sqrt{36}=6$
¿Qué sucederá si nos preguntan cuál es la raíz cuadrada de $72$ por ejemplo:
$\sqrt{72}=?$
¡Aquí es exactamente donde la técnica de simplificación de raíces cuadradas es útil!

¡Esta técnica simplifica el número dentro de la raíz factorizándolo, lo que hace mucho más fácil encontrar la solución!
Podemos expresar $72$ así: $36\cdot2$
Y realmente escribir
$\sqrt{72}=\sqrt{2\cdot36}$
Podemos escribir este ejercicio así según las leyes de los exponentes:
$\sqrt{2\cdot36}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2$
¡Excelente! Sabemos cuál es la raíz cuadrada de $36$, así que podemos escribirlo de esta forma:
$\sqrt{72}=6\cdot\sqrt2$

Resumamos los pasos de la solución:

1. Verifica si el número bajo la raíz se puede descomponer en factores simples que se puedan extraer fácilmente la raíz cuadrada.
2. Para los números que se pueden extraer la raíz cuadrada, extraemos la raíz, y para los que no, los dejamos con la raíz.
3. Verifica que solo hay operaciones de multiplicación entre los factores.

¡Consejo!
¿Cómo sabemos qué factores son mejores para descomponer el número dentro de la raíz cuadrada?
¡Siempre buscaremos el factor más grande que tenga una raíz cuadrada entera!
Por ejemplo:
$\sqrt{50}=$
Pensemos cuál es el factor más grande que podemos sacar que tiene raíz cuadrada.
La respuesta es $25$. Si sacamos el factor $25$ obtenemos lo siguiente:
$\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2$
Luego podemos proceder a escribir:
$\sqrt{50}=5\sqrt2$

Si tuviéramos que factorizar números como $5$ y $10$ o $50$ y $1$ no podríamos avanzar en la resolución del ejercicio.

¡Ahora pasemos a ejercicios más complejos!

Aquí está el ejercicio $5\sqrt{27}=$
¡No te dejes intimidar por su apariencia aterradora! Solo imagina una operación de multiplicación entre $5$ y el signo de raíz cuadrada, y continúa factorizando el número $27$ como aprendiste antes.
El número más grande en $27$ del que podemos encontrar una raíz cuadrada es $9$.
$27:9=3$
Por lo tanto escribiremos lo siguiente:
$5\sqrt{27}=5\sqrt9\cdot\sqrt3$
Sabemos que $\sqrt9=3$ por lo tanto podemos sustituir $3$ por $\sqrt9$ y obtener:
$5\sqrt{27}=5\cdot3\cdot\sqrt3$
$5\sqrt{27}=15\sqrt3$

Otro ejercicio:
$2\sqrt{72}=$
Piensa en el factor más grande que se puede extraer de $72$ y aplícale una raíz cuadrada..
¡La respuesta es por supuesto $9$!
$72:9=8$
Por lo tanto podemos escribir
$2\sqrt{72}=$
$2\sqrt9\cdot\sqrt8$

¡¡Presta atención!!
Sabemos que $\sqrt9$ es $3$ por lo tanto podemos escribir el ejercicio así:
$2\cdot3\cdot\sqrt8$

¿Pero qué hay de $\sqrt8$?
¡También podemos factorizar $\sqrt8$!
El factor más grande que podemos sacar de $8$ y aplicarle una raíz cuadrada es $8$.
$8:4=2$
Así que los dos factores que sacaremos son 2 y 4.
Observamos que:
$2\sqrt{72}=2\cdot3\cdot\sqrt4\cdot\sqrt2$
Sabemos que
$2\sqrt{72}=2\cdot3\cdot\sqrt4\cdot\sqrt2$
Por lo tanto, insertaremos los datos en el ejercicio y obtendremos:
$2\sqrt{72}=2\cdot3\cdot2\cdot \sqrt2$
$2\sqrt{72}=12\sqrt2$

¡Sigue practicando y haz el examen más fácil para ti!
$6\sqrt{25}=$

Nota- no siempre nos apresuraremos a encontrar y extraer factores de forma automática. Sabemos que $\sqrt{25}=5$
por lo tanto este ejercicio, por ejemplo, es realmente muy simple. Obtenemos la siguiente solución:
$6\sqrt{25}=6\cdot5=30$

Otro ejercicio:
$5\sqrt{29}=$
¿Identifiquemos el factor más grande que podemos sacar de $29$ que tenga una raíz cuadrada entera?
La respuesta es que no hay ninguno. Los factores de $29$ son solo $29$ y $1$
Por lo tanto, no podemos simplificar esta raíz cuadrada.

¿Qué tal este ejercicio?
$10\sqrt{360}=$
Con este número grande, trabajaremos por pasos.
Veamos $360$. Del número $36$ podemos extraer $9$ por lo que escribiremos así:
$10\sqrt{360}=10\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{40}$
De $40$ podemos extraer múltiplos de $10$ y $4$
Obtenemos la siguiente solución como se ve a continuación:
$10\sqrt{360}=10\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt4$
Ahora resolveremos lo que podamos y obtenemos:
$10\sqrt{360}=10\cdot3\cdot2\cdot\sqrt{10}$
$10\sqrt{360}=60\sqrt{10}$