Cambiando la Base de un Logaritmo

Primero, recordemos la definición del logaritmo:

$log_a⁡x=b$

Cuando
$a$ es la base del logaritmo (ten en cuenta que en la calculadora la base es $10$ por defecto)
$b$ es el exponente al que elevamos $a$
$X$ es el número que obtenemos cuando $a$ se eleva a la potencia de $b$, también llamado el número dentro del logaritmo. A veces aparece entre paréntesis.
En otras palabras:
$X=a^b$

Por ejemplo, si nos encontramos con un ejercicio como este:
$log_3⁡27=$
Consideremos a qué potencia necesitamos elevar $3$ para obtener $27$....?
La respuesta es a la potencia de $3$ y por lo tanto la solución es $3$.
Si nos encontramos con un ejercicio como este con una variable en la base del logaritmo:
$log_x⁡36=2$
Calcularemos de la siguiente manera
$x^2=36$
$x=6$

Si nos encontramos con una ecuación como esta con una variable dentro del logaritmo:
$log_2⁡x=5$
Calculamos de la siguiente manera:
$2^5=x$
$x=32$
¡Excelente! Después de repasar la definición de logaritmo, procederemos a cambiar la base de logaritmos.

Invertir la base del logaritmo es una situación donde queremos cambiar las posiciones de la base del logaritmo y el contenido del logaritmo. Para hacer esto, usaremos la siguiente fórmula:
$log_a⁡x=\frac{1}{log_x⁡a}$

Veamos un ejemplo:
Resuelve el logaritmo
$log_{25}⁡5=$

Solución:
Podemos simplemente usar la fórmula para resolver el problema. En el numerador escribiremos $1$
y en el denominador pondremos el logaritmo inverso
Obtendremos lo siguiente:
$log_{25}⁡5=\frac{1}{log_5⁡25 }$
Ahora podemos resolver el problema como se muestra a continuación
$log_5⁡25=2$
Insertaremos los datos en el ejercicio de la siguiente manera para obtener nuestra solución:
$log_{25}⁡5=\frac{1}{2}$

Cuando necesites calcular un logaritmo en una base específica, pero tu calculadora solo funciona con base $10$, ¡usa la fórmula de cambio de base! De hecho, ¡puedes usarla para problemas de suma, resta, multiplicación o división con diferentes bases!
En lugar de romperte la cabeza buscando una solución, simplemente usa la fórmula y verás qué fácil puedes resolver el problema!

¡Practiquemos!

Resuelve el ejercicio:
$log_4⁡64+log_{16} 4=$

Solución
Lo primero que haremos es simplemente observar el ejercicio. A primera vista, podemos ver que los logaritmos son inversos. Esto significa que, si realizamos un cambio de base para uno de los logaritmos en el ejercicio, podemos resolverlo fácilmente usando la fórmula de suma para logaritmos con bases idénticas.

Consejo - Es mejor convertir la base mayor a la base menor.
$log_{16}4=\frac{1}{log_416}$
Según la fórmula que aprendimos. Ahora vamos a insertar los datos que obtuvimos en el ejercicio de la siguiente manera:
$log_4⁡64+\frac{1}{log_416}=$
Continuemos resolviendo el problema. Ten en cuenta que no hay necesidad de encontrar un denominador común. Solo resuelve los logaritmos como están.
$log_4⁡64=3$
$\frac{1}{log_416}=\frac{1}{2}$
Vamos a sustituir los datos en el ejercicio de la siguiente manera:
$3+\frac{1}{2}=3.5$

Nota - Hay dos formas de cambiar la base del logaritmo.
Una forma es usando la fórmula que aprendiste aquí - que en realidad intercambia la base del logaritmo y el contenido del logaritmo.
La segunda forma es usar la fórmula de cambio de base.
Aquí está -
$log_aX=\frac{log_{the~base~you~want~to~change~to}X}{log_{the~base~you~want~to~change~to}a}$

Usemos esta fórmula para convertir $log_{16} 4$ a un logaritmo con base $4$.
En el numerador tendremos un logaritmo con base $4$ - la base a la que queremos convertir, y el contenido será $4$ el contenido original
En el denominador tendremos un logaritmo con base $4$ - la base a la que queremos convertir, y el contenido será $16$ = la base original

Obtenemos lo siguiente:
$log_{16} 4=\frac{log_44}{log_416}$
Continuemos:
$log_{16} 4=\frac{1}{2}$
Observa - obtenemos $1 \over 2$
exactamente como en la primera fórmula.

¡Ahora resolveremos un ejercicio avanzado que combina ambos métodos juntos!
No te preocupes, lo resolveremos paso a paso.

Resuelve el ejercicio –
$log_64⁡2+log_8⁡16=$

Solución:
Lo primero que haremos es cambiar el primer logaritmo con base $64$ dado que el logaritmo con base $2$ es más fácil de resolver. Obtenemos lo siguiente:
$log_{64}⁡2=\frac{1}{log_2⁡64 }$
Sustituyamos de la siguiente manera:
$\frac{1}{log_2⁡64} +log_8⁡16=$
Ahora usaremos la segunda fórmula que aprendiste - cambiando la base del logaritmo y convirtiendo el logaritmo base 8 a logaritmo base $2$.
Obtenemos lo siguiente:
$log_8⁡16=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡8 }$
Insertemos los datos de la siguiente manera:
$\frac{1}{log_2⁡64} +\frac{log_2⁡16}{log_2⁡8} =$

Ahora resolveremos los logaritmos tal como están y obtendremos la siguiente solución:
$\frac{1}{6}+\frac{4}{3}=1.5$