Casos de ecuaciones especiales

Hasta ahora hemos visto ecuaciones con una sola solución. Por ejemplo, ecuaciones de este tipo:

$3x=8x-5$
$5x=5$
$x=1$
Esta ecuación tiene una sola solución, $x=1$

Hoy conoceremos un nuevo tipo de ecuaciones. Ecuaciones con infinitas soluciones o ecuaciones sin ninguna solución. 

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$3x+3=3x-5$

$3x+3=3x-5$

$3=-5$

Éste es un enunciado falso, lo que significa que la ecuación no tiene solución. Es decir, ningún número que coloquemos en la ecuación podría dar un enunciado verdadero.

$2(2x+1)-1=4x-2$

$4x+2-1=4x-2$

$1=-2$

Nuevamente se obtiene un enunciado falso. O sea, esta ecuación tampoco tiene solución.

$\frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{x-2}$

Primeramente, como en todos los casos en los que tenemos una variable en el denominador, averiguaremos cuál es el conjunto solución.

Debemos corroborar que el denominador no equivalga a $0$. En este caso queda claro que el conjunto solución es

$x≠2$

Ahora continuaremos con el ejercicio. Multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por el denominador y obtendremos:

$\frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{\left(x-2\right)}$

$x-1=1$

$x=2$

Es decir, nos dio por resultado $x=2$ Sin embargo, recordemos nuestro conjunto solución que es

$x≠2$

Eso quiere decir que el resultado que obtuvimos no se encuentra dentro del conjunto solución. Por consiguiente, tampoco este ejercicio tiene solución. Este ejercicio remarca por qué es tan importante que siempre controlemos el conjunto solución.

Ahora veremos una ecuación que tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, observemos la ecuación 

$\frac{3x}{2}+3+x=2.5+3$

Eliminemos el denominador y restemos 3 de los dos miembros:

$\frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3$

$3x+2x=5x$

$0=0$
Obtendremos la solución $0=0$ lo que implica que hay infinitas soluciones para esta ecuación. En este caso toda $x$ que elijamos colocar soluciona la ecuación. Demostrémoslo. Coloquemos, por ejemplo $x=1$

$\frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3$

pongamos $x=1$ y obtendremos

$\frac{3\times 1}{2}+3+1=2.5\times 1+3$

$\frac{3}{2}+3+1=2.5+3$

$\frac{3}{2}+4=5.5$

$5.5=5.5$

éste realmente es un enunciado verdadero. De modo similar, también toda otra $x$ que coloquemos dará un enunciado verdadero. Hora pruébalo tú. Pon $x=2$ por ejemplo, o cualquier otro número.

$\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3$

Ésta es una ecuación con una variable en el denominador. Por lo tanto, primero debemos anotar cuál es el conjunto solución. Recordemos que el denominador no puede tener el valor de $0$. Veamos el conjunto solución:

$3x-2 ≠ 0$

$x≠\frac{2}{3}$

Escribámoslo de forma clara: El conjunto solución es 
$x≠\frac{2}{3}$
Ahora regresemos a la ecuación original

$\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3$

Podemos multiplicar los dos miembros por el denominador, pero obviamente conviene que reduzcamos el numerador y el denominador. Obtendremos:

$\frac{3\left(3x-2\right)}{3x-2}=3$

Obtendremos 

$1=1$

Es decir, vemos que esta ecuación tiene infinitas soluciones. Ahora recordemos nuestro conjunto solución
$x≠\frac{2}{3}$

Por lo tanto, para esta ecuación estará bien toda $X$ a excepción de $2/3$. Lo anotaremos así:
Solución:$x≠\frac{2}{3}$

Podrás verificarlo si anotas, por ejemplo 
$x=2$

• cualquier otro número que se encuentre dentro del conjunto solución. 

¡Recuerda! Controlemos siempre el conjunto solución al comenzar el ejercicio y luego, al finalizarlo, verifiquemos la respuesta respecto a él.

• Primero siempre averiguaremos cuál es el conjunto solución.
• Si nos da un resultado del tipo $0=0$ quiere decir que nuestra ecuación tiene infinitas soluciones.
• Si nos da un resultado del tipo $a=0$ (a es todo número distinto de cero), es decir, obtuvimos un enunciado falso. En tal caso, la ecuación no tiene solución.