Resolviendo un Sistema de Ecuaciones Lineales con Dos Variables Usando el Método Algebraico

En la primera etapa:

Aislemos una variable en una ecuación de nuestra elección.

En la segunda etapa:

Sustituyamos la variable aislada en la segunda ecuación del sistema para encontrar el valor de una variable.

En la tercera etapa:

Sustituyamos el valor de la incógnita que encontramos en una determinada ecuación para encontrar el valor de la segunda incógnita.

Para entender mejor el método de sustitución, veamos un ejemplo.

Te prometemos que después del ejemplo y con un poco de práctica, podrás usar el método de sustitución sin ningún problema.

Tomemos el siguiente sistema de ecuaciones como ejemplo:

$3y-x=4$

$2x-3y=7$

En este sistema, hay dos ecuaciones lineales con dos incógnitas - $X$ y $Y$.

De acuerdo con el primer paso, necesitamos aislar una variable en una ecuación que elijamos.

¿Qué ecuación debemos elegir y qué variable?

La verdad es que no importa qué ecuación elijas y qué variable decidas aislar, siempre y cuando lo hagas correctamente, llegarás a la respuesta correcta.

Para evitar tantos errores y confusión como sea posible,

Elijamos una ecuación donde una de las variables no tenga coeficiente delante o tenga un coeficiente simple (como 1 o -1)

De esta manera será más fácil para nosotros extraerlo y aislarlo.

En nuestro ejemplo en la primera ecuación, el coeficiente de $X$ es -1.

Por lo tanto, elegiremos esta ecuación y aislaremos $X$.

Después de mover términos y aislar obtenemos:

$x=3y-4$

Recuerda, mover términos entre lados y aislar variables no cambia la ecuación en sí misma sino solo su apariencia, por lo tanto la ecuación aislada es equivalente a la ecuación original.

Pasemos a la segunda etapa:

Sustituyamos la variable aislada – $X$ en la segunda ecuación del sistema.

Actualmente, $X$ no tiene un valor numérico, pero tiene una expresión igual a $3y-4$.

Tomemos la segunda ecuación en el sistema-
$2x-3y=7$

y sustituiremos $X$ con $3y-4$ de la siguiente manera:

$2\cdot3y-4-3y=7$

¡¡Presta atención!!

Es muy importante agregar paréntesis en la expresión donde sustituiste la $X$ para evitar errores y confusión.

En este ejemplo, el coeficiente 2 actúa sobre toda la expresión, y si hubiéramos olvidado los paréntesis, habríamos tenido la impresión de que necesitamos multiplicar el 2 solo por 3Y.

Por lo tanto, hazte un favor y no olvides los paréntesis cuando sustituyas una expresión como variable.

Lo que hicimos fue esencialmente reemplazar $X$ con una expresión que tiene solo $Y$.

Por lo tanto, obtuvimos una ecuación con una variable que es fácil de resolver.

Ahora continuemos resolviendo la ecuación y encontremos $Y$:

Abramos los paréntesis, combinemos términos semejantes, movamos términos entre lados y aislemos $Y$-

$6y-8-3y=7$

$3y=15$

$y=5$

Espera, aún no hemos terminado. Para resolver completamente el sistema, necesitamos encontrar ambas incógnitas.

Pasemos a la tercera etapa:

Ahora, sabemos que $y=5$.

Todo lo que necesitamos hacer para encontrar X es simplemente sustituir la $Y$ que encontramos, en nuestro ejemplo 5, en una de las ecuaciones.

No importa qué ecuación elijamos, obtendremos el mismo $X$.

Te recomendamos que inmediatamente abordes la ecuación donde aislamos $X$, sustituyas $y=5$ y encuentres el valor de $X$ de la manera más rápida posible.

Volvamos a la ecuación aislada de $X$ :

$x=3y-4$

Encontramos $Y$, ya no es desconocida, por lo tanto sustituimos: $y=5$

y obtenemos:

$x=3*5-4$

$x=11$

Y eso es todo, hemos terminado. Encontramos el par de valores $X$ y $Y$ que satisfacen ambas ecuaciones en el sistema.

Nuestro consejo:

No siempre tendremos ecuaciones sin coeficientes antes de la variable o coeficientes simples. Lo que necesitamos considerar para lograr el aislamiento de la manera más fácil es evitar un aislamiento que creará fracciones en la ecuación.

Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:

$4x+2y=10$

$3x-5y=4$

Preguntémonos qué ecuación sería más fácil de aislar.

Mirando los coeficientes, podemos notar que en la primera ecuación, podemos dividir el coeficiente 2 por 4 y por 10 de manera uniforme, mientras que si tratamos de aislar una variable en la segunda ecuación, obtendremos una ecuación con fracciones.

Por lo tanto en este ejemplo, si queremos usar el método de sustitución, preferiremos aislar $Y$ en la primera ecuación.

Piensa en estas preguntas como un rompecabezas donde necesitas descubrir sus partes.
Después de descubrir la primera incógnita, el camino para descubrir la segunda incógnita es rápido y fácil.
El secreto del éxito en ejercicios como estos es practicar, practicar y practicar más.
Si practicas, el método de sustitución estará bien arraigado en tu mente y podrás usarlo naturalmente.

¿Recuerdas cuando dijimos que hay dos grupos para resolver algebraicamente?

El segundo método para resolver un sistema de ecuaciones con dos variables algebraicamente es el método de comparación de coeficientes.
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables usando el método de comparación de coeficientes
Hay una razón por la cual este método se llama método de comparación de coeficientes.
Todo lo que necesitamos hacer es comparar los coeficientes y algunas veces ni siquiera necesitaremos aislar ninguna variable.

¿Cómo hacemos esto?

Tomemos el siguiente sistema de ecuaciones como ejemplo:

$5X+6Y=7$

$5X+4Y=13$

Mira las dos ecuaciones frente a ti y observa que los coeficientes de la variable $X$ son idénticos en ambas.

En ambas ecuaciones, el coeficiente de la incógnita $X$ es 5.

Cuando hay coeficientes idénticos para una variable específica en ambas ecuaciones, podemos restar una ecuación de la otra.

El simplificador agregó el signo menos de la siguiente manera:

Ahora, resta cada variable por separado y obtén:

$0+2y=-6$

¿No entendiste cómo restamos las ecuaciones?

Mira la siguiente ilustración:

Asegúrate de organizar las ecuaciones de modo que cada variable esté alineada una encima de la otra según corresponda.

$X$ sobre $X$

$Y$ sobre $Y$

Número sobre número

En realidad tenemos la ecuación $2y=-6$

Aislemos $Y$ y obtenemos $y=-3$

Ahora encontraremos la incógnita $X$.

Sustituyamos $y=-3$ en una de las ecuaciones y obtendremos $x=5$.

No importa qué ecuación elijamos para sustituir $y=-3$, obtendremos el mismo resultado.

Cuando identificas coeficientes idénticos de la misma variable en dos ecuaciones, es altamente recomendado usar el método de comparación de coeficientes.

¿Cuándo más deberíamos usar el método de comparación de coeficientes?

A veces los coeficientes no serán idénticos en ambas ecuaciones.

Incluso en casos donde los coeficientes son opuestos, es decir, menos y más, es muy beneficioso para nosotros usar el método de comparación de coeficientes. Antes de poder usarlo, necesitamos entender mejor el significado de este método.

Tomemos el siguiente sistema de ecuaciones como ejemplo:

Ejemplo de resolución comparando coeficientes cuando los coeficientes son opuestos en una de las variables:

$5X+6Y=7$

$-5X+4Y=13$

De hecho, este sistema es muy similar al sistema de ecuaciones dado en el ejemplo anterior.

Los más observadores notarán que los coeficientes de $X$ en este sistema de ecuaciones no son idénticos. Son similares, 5 y -5, pero no son idénticos.
Si restamos las ecuaciones como lo hicimos en el ejemplo anterior, obtendremos una nueva ecuación con dos variables y esencialmente no habremos avanzado.
El propósito de comparar coeficientes es llegar a una situación donde una variable sea eliminada, desaparezca por completo.

Entonces, ¿qué podemos hacer para eliminar la variable $X$ en este sistema?

¡Suma las ecuaciones en lugar de restarlas!
Si sumamos las ecuaciones, cancelaremos el coeficiente de X y nos quedaremos con solo una variable.
Veamos esto en el ejemplo:

Combinamos las ecuaciones de la misma manera que lo hicimos en el primer ejemplo - factor sobre factor respectivamente y obtuvimos:

$10Y=20$

Aislemos $Y$ y obtengamos $y=2$.

¿Hemos terminado de resolver el sistema de ecuaciones? ¡No y no!|
Para resolver el sistema de ecuaciones y obtener una solución completa, no debemos olvidar encontrar tanto $X$ como $Y$.

Sustituye $y=2$ que encontraste en cualquier ecuación que elijas de las dos ecuaciones en el sistema y encuentra el valor de $X$.

Sustituyamos $y=2$ en la primera ecuación y obtenemos:

$5x+6\cdot2=7$
$5x=-5$
$x=-1$

La solución del sistema de ecuaciones es $x=-1, y=2$

¿Quieres asegurarte de que lo hiciste bien?

Sustituye los valores que encontraste en ambas ecuaciones y verifica si la ecuación se cumple.

¿Qué sucede cuando tenemos un sistema de ecuaciones con coeficientes que no son ni idénticos ni opuestos, y se nos pide resolver el sistema usando el método de igualación de coeficientes? Veamos un ejemplo.

Se da el siguiente sistema de ecuaciones -

$3X-2Y=11$

$6x+5y=4$

Los coeficientes de ninguna de las variables son idénticos u opuestos.

Por lo tanto, necesitamos realizar un paso preliminar antes de sumar y restar las ecuaciones.
El paso preliminar es - hacer que el coeficiente de una variable sea idéntico u opuesto en ambas ecuaciones.
Si realizamos una operación matemática determinada como división o multiplicación en ambos lados, la ecuación puede verse diferente pero será equivalente a la ecuación original, y esto es exactamente la clave para resolver este tipo de preguntas.

Mira el sistema de ecuaciones de arriba.

Concéntrate en los coeficientes y observa el siguiente hecho -

Si miramos los coeficientes de $X$ notaremos que con una simple operación podemos convertir a, 3 en 6 si solo lo multiplicamos por 2.

¿Qué hay de los coeficientes de $Y$? Aquí nos complicaremos un poco más porque necesitaremos realizar operaciones matemáticas en ambas ecuaciones.

Por lo tanto, decidiremos que queremos hacer que el coeficiente de la primera ecuación también sea 6 porque todo lo que necesitamos hacer es una simple operación matemática - multiplicar ambos lados de la primera ecuación solo por 2.

Veámoslo a través del ejemplo-

$3X-2Y=11$

$6x+5y=4$

Obtenemos:

$2\cdot3x-2y=22$

$6x+5y=4$

¡Recuerda! Para obtener una ecuación equivalente, debes multiplicar ambos lados de la ecuación.
Si en un lado hay una expresión como en nuestro ejemplo, no olvides ponerla entre paréntesis y multiplicar todo el paréntesis por el factor por el que queremos multiplicar.
Continuemos resolviendo los paréntesis y obtendremos:

$6x-4y=22$

Esta es la nueva ecuación equivalente.
Logramos hacer que los coeficientes de $X$ sean idénticos en ambas ecuaciones.
Ahora, implementaremos el método de resolución que aprendimos para comparar coeficientes cuando los coeficientes son idénticos en una de las variables.
Escribiremos las ecuaciones una debajo de la otra en el orden correcto, restaremos las ecuaciones, encontraremos una variable, la sustituiremos en una de las ecuaciones y obtendremos la segunda variable.

No olvidaremos sustituir $Y$ en una de las ecuaciones originales para encontrar $X$ y obtendremos que $x=73$.

En realidad, cuando recibes un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y quieres usar el método de comparación de coeficientes, primero mira las ecuaciones y verifica qué caso corresponde al sistema.

Si los coeficientes son idénticos en una variable, opuestos en una variable, o completamente diferentes, y así operarás correcta y eficientemente.

A veces podemos encontrar un sistema de ecuaciones que no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Si tenemos un sistema de dos ecuaciones donde los coeficientes de ambas variables son idénticos en ambas ecuaciones, lo que significa que el coeficiente de $X$ es idéntico en ambas ecuaciones y el coeficiente de $Y$ es idéntico en ambas ecuaciones pero el término constante no es idéntico, obtendremos una expresión de:

$0=cualquier~número~que~no~sea~cero$

¡Esta expresión es falsa! 0 no puede ser igual a ningún número que no sea 0, así que diremos que este sistema de ecuaciones no tiene solución.

Por otro lado, si los coeficientes son idénticos en ambas ecuaciones con dos incógnitas y el término constante también es idéntico (dos ecuaciones completamente idénticas), podemos determinar inmediatamente que este sistema tiene infinitas soluciones.

¿Por qué? Porque sin importar qué $Y$ y $X$ elijamos, como estas son dos ecuaciones completamente idénticas, obtendremos la misma expresión.

Otra manera de entender esto usando el método de coeficientes es restar entre las ecuaciones idénticas y obtener $0=0$. Una expresión verdadera.
¡Excelente! Ahora sabes cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables usando un método algebraico.
Espera... pero ¿qué sucede cuando no te dan el sistema y necesitas construirlo a partir de un problema verbal?

Buena pregunta.

A veces, cuando quieren que pensemos un poco más y deduzcamos los datos por nosotros mismos, no nos darán un sistema de ecuaciones sino más bien un problema escrito del cual tendremos que determinar las ecuaciones relevantes.

En general, necesitamos entender las condiciones en la pregunta y crear las ecuaciones correctas a través de ellas.

Veámoslo a través de un ejemplo.

Aquí hay una pregunta-

¿Cuál es el precio de los pantalones y el precio de una camisa si se sabe que el precio de los pantalones es el doble del precio de una camisa y el precio de 5 pares de pantalones es 22$ más que el precio de 8 camisas?

Bien.
Puede que estés mirando esta pregunta y te preguntes cómo puedes convertirla en un sistema de ecuaciones con dos variables.
No te preocupes, no es tan complicado. Solo necesitas concentrarte y leer la pregunta cuidadosamente.

En la etapa inicial, leeremos la pregunta sin escribir los datos.

De la primera lectura, entendemos que hay dos incógnitas por descubrir - el precio de los pantalones y el precio de una camisa.
Se nos da información sobre estos precios y se nos presentan condiciones que deben cumplir, por ejemplo - el precio de los pantalones es el doble del precio de una camisa.

En la segunda etapa - decidamos llamar a nuestras incógnitas con las letras $X$ y $Y$.

Al azar, vamos a marcar y escribir:

$X$- precio de una camisa

$Y$- precio de los pantalones

El tercer paso es convertir los datos escritos en palabras en ecuaciones relevantes.

¿Cómo haremos esto?
Empecemos leyendo la pregunta otra vez y encontremos la primera condición - el precio de los pantalones es el doble del precio de una camisa.
Esto significa que para que el precio de los pantalones sea igual al precio de una camisa, necesitamos multiplicar el precio de la camisa por 2.
Sabemos que esto puede sonar un poco confuso, pero si te concentras entenderás que como el precio de los pantalones es el doble del precio de la camisa, para compararlos necesitaremos multiplicar el precio de la camisa de la siguiente manera:

$y=2x$

Ten en cuenta que anteriormente marcamos $X$ como el precio de la camisa y $Y$ como el precio del pantalón.

Esta es la primera ecuación en nuestro sistema de ecuaciones.
Ahora continuaremos leyendo la pregunta y encontraremos la segunda condición - el precio de 5 pantalones es 22$ más que el precio de 8 camisas.
En otras palabras, para crear una ecuación - para comparar entre el precio de una camisa y un pantalón, necesitaremos realizar diferentes operaciones.
Esta condición es un poco más compleja que la primera, pero una vez que entiendas la técnica, te resultará muy rápido.

El precio de $5$ pares de pantalones, que es $5Y$, es mayor por $22$ que el precio de $8$ camisas, que es $8X$.

De hecho, necesitamos sumar $22$ al precio de ocho camisas – $8X$ para igualar el precio de $5$ pantalones – $5Y$.

Expresemos esto en una ecuación:

$5y=8x+22$

Otra manera de entender esta condición es comprender que la diferencia entre el precio de 5 pares de pantalones y el precio de 8 camisas es 22, y entonces obtenemos una ecuación equivalente a la que encontramos, solo que en un orden diferente:

$5y-8x=22$

Ahora, también tenemos la segunda ecuación y podemos ponerlas en un sistema de ecuaciones:

$y=2x$

$5y-8x=22$

Podemos elegir cualquier método que queramos - comparar coeficientes o sustitución para encontrar las dos incógnitas.

En este caso, cuando $Y$ ya está aislada, recomendaríamos simplemente sustituirla en la segunda ecuación, encontrar el valor de $X$, y luego no olvidar regresar y encontrar el valor de $Y$.

Recuerda lo que te preguntaron en el problema - cuál es el precio de los pantalones y cuál es el precio de una camisa.

En este ejemplo:

$5\cdot2x=8x+22$

$10x=8x+22$

$2x=22$

$x=11$

Marcamos $X$ como el precio de la camisa, por lo tanto el precio de la camisa es 11$.

Ahora, calculemos el precio de los pantalones:

Sustituyamos $x=11$

En la ecuación más simple:

$y=2x$

Y obtenemos:

$y=2x$

En otras palabras, el precio de los pantalones es 22$.

La clave para tener éxito al resolver este tipo de preguntas es leer la pregunta varias veces y entender exactamente lo que nos está tratando de decir.

Trabaja con los pasos que escribimos para ti arriba, practica preguntas adicionales, encuentra diferentes casos, y puedes estar seguro de que dominarás el material maravillosamente.