Resolución algebraica para un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de ecuaciones lineales es, de hecho, un conjunto de condiciones que deben cumplirse por incógnitas específicas.

Si se nos da un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas deberemos hallar la $X$ y la $Y$ específicas que cumplan con las dos ecuaciones a la vez.
Ejemplo de un sistema simple de ecuaciones:

$x+y=5$

$y-x=3$

La solución para un sistema de ecuaciones se basa en hallar la $X$ y la $Y$ que concuerden tanto con la primera ecuación como con la segunda.
En este caso, la solución del sistema de ecuaciones es: $y=4,x=1$
Al colocar estos valores veremos que realmente logran hacer verdaderas a ambas ecuaciones.

Hay varias maneras de resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, en este artículo nos centraremos en la resolución algebraica.

Todo depende de las ecuaciones que se nos presenten y de lo que se nos pida.
Podrían pedirte resolver el sistema de ecuaciones con el método gráfico, podrás hacerlo sencillamente con nuestra guía: Resolución algebraica para un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Sin embargo, si tienes la posibilidad de elegir el tipo de resolución que quieras, generalmente es conveniente elegir el método algebraico.
No siempre es fácil trazar las ecuaciones sobre una gráfica y, en realidad, el método gráfico a veces toma más tiempo que el algebraico. Por lo tanto, te recomendamos que, si no te lo exigen, dejes la regla dentro del estuche y evites trazar planos innecesarios.

Para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de una forma rápida deberás conocer el método algebraico.

Como su nombre lo dice, es una forma que utiliza el álgebra: es decir, las reglas matemáticas, resolución de ejercicios o ecuaciones sin ilustraciones.
Distinguiremos dos métodos dentro de la resolución algebraica:

Método de sustitución y método de igualación.

Te explicaremos sobre cada uno de ellos y te daremos consejos para elegir el mejor método según el sistema que se te presente.

Primer paso:

Se aísla una incógnita en cualquiera de las ecuaciones.

Segundo paso:

Se sustituye la incógnita que aislamos en la otra ecuación del sistema y se descubre el valor de una incógnita.

Tercer paso:

Se coloca el valor de la incógnita que hemos descubierto en una ecuación para hallar el valor de la otra.

Para que comprendas bien el método de sustitución lo veremos en un ejemplo.
Te aseguramos que, después del ejemplo y de un poco de práctica, podrás utilizar el método de sustitución sin ningún problema.

Tomemos por ejemplo el siguiente sistemas de ecuaciones:

$3y-x=4$

$2x-3y=7$

En este sistema hay dos ecuaciones lineales con dos incógnitas $X$ y $Y$.
Acorde con el primer paso, debemos aislar cualquier incógnita de la ecuación que elijamos.
¿Qué ecuación y qué incógnita nos conviene elegir?
La verdad es que no tiene importancia qué ecuación y qué incógnita elijas, siempre y cuando lo hagas de forma correcta llegarás a la respuesta adecuada.
Para intentar evitar errores y confusión,

seleccionaremos dentro de la ecuación en la que a alguna de las incógnitas no la preceda ningún coeficiente o que tenga un coeficiente simple (como $1$ o $-1$),
de este modo nos será más fácil sacarlo y aislarlo.
En nuestro ejemplo, en la primera ecuación, el coeficiente de la $X$ es $1$.
Por lo tanto, elegiremos esta ecuación y aislaremos la $X$.
Luego de la transposición de miembros obtendremos:

$x=3y-4$

Recuerda, la transposición de miembros y el rescate no modifican la ecuación en sí, sino sólo su apariencia, por consiguiente, la ecuación aislada y la original valen lo mismo.

Pasemos al segundo paso:

Coloquemos la incógnita que hemos aislado $X$ en la segunda ecuación del sistema.
Ahora la X no tiene valor numérico, pero sí tiene una expresión equivalente que es $3y-4$.

Tomemos la segunda ecuación del sistema
$2x-3y=7$

y coloquemos la X $3y-4$ del siguiente modo:
$2\times3y-4-3y=7$

¡Atención!

Es muy importante añadir paréntesis a la expresión en la cual has sustituido la $X$ para que no te confundas.
En este ejemplo el coeficiente $2$ actúa sobre toda la expresión y, si nos hubiéramos olvidado de los paréntesis, podríamos haber pensado que había que multiplicar el $2$ sólo por el $3Y$.
Por lo tanto, hazte un favor y no te olvides de los paréntesis al sustituir alguna expresión en lugar de la incógnita.
De hecho, lo que hicimos fue cambiar la $X$ en la expresión que sólo tenía $Y$.
De este modo obtuvimos una ecuación con una sola incógnita que nos es fácil resolver.
Ahora continuemos con la resolución de la ecuación y despejemos la $Y$:

Abramos paréntesis, coloquemos elementos, transpongamos miembros y despejemos la $Y$

$6y-8-3y=7$
$3y=15$
$y=5$

Espera un momento, aún no hemos terminado. Para solucionar el sistema completamente debemos hallar las dos incógnitas.

Pasemos al tercer paso:

Ahora ya sabemos que $Y=5$.
Todo lo que nos queda por hacer para despejar la $X$ es simplemente colocar la $Y$ que hallamos, en nuestro ejemplo el $5$, en alguna de las ecuaciones.
Independientemente de la ecuación que elijamos obtendremos la misma $X$.
Te recomendamos dirigirte directamente a la ecuación en la cual aislamos la $X$, colocar $Y=5$ y descubrir muy fácilmente el valor de $X$.

Regresemos a la ecuación aislada de $X$:
$x=3y-4$

Ya sabemos cuánto vale $Y$, ya no es una incógnita, por lo tanto escribiremos:

$y=5$

y obtendremos:

$x=3\times5-4$

$​​​​​​​x=11$

Eso es todo, hemos terminado. Hallamos el par de valores de $X$ y $Y$ que cumplen con las dos ecuaciones del sistema.

No siempre tendremos ecuaciones sin coeficiente antes de la incógnita o con un coeficiente sencillo. Lo que debemos tener en cuenta para lograr aislar de la manera más sencilla es evitar que dicho aislamiento cree fracciones en la ecuación.

Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:

$4x+2y=10$

$3x-5y=4$

Nos preguntaremos en qué ecuación será más fácil aislar.
Echando un vistazo a los coeficientes nos percataremos de que en la primera ecuación podremos dividir el coeficiente $2$ por $4$ y por $10$ de forma entera, en cambio, si intentamos aislar alguna incógnita de la segunda ecuación tendremos una ecuación con fracciones.
Por consiguiente, en este ejemplo, si queremos hacer uso del método de sustitución, preferiremos aislar la $Y$ de la primera ecuación.
Considera estas preguntas como si fuera un rompecabezas en el que debes descubrir sus piezas.
Luego de despejar la primera incógnita el camino para descubrir la segunda es fácil y rápida.
La clave del éxito en ejercicios de este tipo es la práctica, la práctica y nuevamente la práctica.
Si lo ejercitas, asimilarás por completo el método de sustitución y podrás utilizarlo de forma natural.

¿Recuerdas que habíamos dicho que hay dos métodos en la resolución algebraica?
El segundo método es el de igualación.

No porque sí el nombre de este método es método de igualación.
Todo lo que debemos hacer es igualar los coeficientes, en ciertos casos ni siquiera deberemos aislar incógnitas.
¿Cómo se hace?

Tomemos el siguiente sistema de ecuaciones como ejemplo:
Ejemplo de una resolución igualando coeficientes cuando éstos son iguales en una de las incógnitas:

$5X+6Y=7$
$5X+4Y=13$

Observa las siguientes ecuaciones y nota que los coeficientes de la incógnita $X$ son idénticos en ambas.
En las dos ecuaciones, el coeficiente de $X$ es $5$.
Cuando hay coeficientes iguales en alguna incógnita de las dos ecuaciones podremos restar las ecuaciones una de la otra.
Simplemente agrega el signo de restar de la siguiente forma:

Es importante que ordenes las ecuaciones de modo tal que las incógnitas queden una sobre la otra correspondientemente.

$X$ sobre $X$

$Y$ sobre $Y$

Número sobre número
de hecho, hemos obtenido la ecuación $2y=-6$
despejaremos la $Y$ y obtendremos $y=-3$

Ahora hallaremos la incógnita.
Coloquemos X $y=-3$ en una de las ecuaciones y obtendremos $x=5$.

Indiferentemente de la ecuación en la que seleccionemos poner  $y=-3$ llegaremos al mismo resultado.
Cuando identifiques idénticos coeficientes de incógnitas iguales en ambas ecuaciones, te convendrá utilizar el método de igualación.

A veces los coeficientes no serán idénticos en las dos ecuaciones.
Aun cuando los coeficientes se opongan, es decir, menos y más, conviene utilizar el método de igualación. Antes de que podamos usarlo debemos entender mejor su sentido.

Tomemos el siguiente sistema de ecuaciones como ejemplo:
Ejemplo de una resolución igualando coeficientes cuando éstos son opuestos en una de las incógnitas:

$5X+6Y=7$
$-5X+4Y=13$

De hecho, este sistema de ecuaciones es similar al que dimos en el ejemplo anterior.
Los detallistas se percatarán de que los coeficientes de la $X$ en este sistema de ecuaciones no son idénticos. Es cierto que $5$ y $-5$ son similares, pero no son idénticos.
Si restáramos las ecuaciones, del mismo modo que hemos hecho en el ejemplo anterior, llegaríamos a una nueva ecuación con dos incógnitas, lo que en realidad no nos llevaría a ningún lugar.
El sentido del método de igualación es llegar a suprimir una variable, que desaparezca totalmente.

Entonces ¿qué podemos hacer para suprimir la incógnita $X$ en este sistema?
¡Sumar las ecuaciones en lugar de restarlas!

Al sumar las ecuaciones suprimiremos el coeficiente de la $X$ y nos quedaremos con una sola incógnita.

Sumamos las ecuaciones del mismo modo que lo hemos hecho en el primer ejemplo, término sobre término correspondientemente y nos dio:

$10Y=20$
aislaremos la $Y$ y obtendremos $y=2$.

¿Piensas que hemos terminado de resolver el sistema de ecuaciones? ¡No, no, no!
Para resolver por completo el sistema de ecuaciones no podemos olvidarnos de hallar la $X$ y la $Y$.
Pon la $y=2$  que encontraste en la ecuación que quieras y descubre el valor de $X$.
Pongamos, por ejemplo, $y=2$ en la primera ecuación y obtendremos:

$(5x+6\times2=7$

$5x=-5$
$x=-1$

El resultado del sistema de ecuaciones es $x=-1, y=2$

¿Quieres asegurarte de que lo has hecho bien?
Coloca en ambas ecuaciones los valores que has hallado y verifica que las ecuaciones se mantengan correctas.

¿Qué pasa cuando se nos da un sistema de ecuaciones con coeficientes que no son iguales ni opuestos y se nos pide resolverlo con el método de igualación?
Veamos un ejemplo de esto.

Ejemplo de una resolución igualando coeficientes cuando éstos no son iguales ni opuestos:

$3X-2Y=11$
$6x+5y=4$

Ningún coeficiente de las incógnitas es igual u opuesto a otro.
Por lo tanto, deberemos hacer un paso previo antes de sumar o restar.
El paso preliminar es igualar o contraponer el coeficiente de una incógnita, en ambas ecuaciones.

Si llevamos a cabo alguna operación matemática como división o multiplicación, en ambos miembros, la ecuación tal vez se vea diferente, pero valdrá lo mismo que la original, ésta es la clave para la solución de este tipo de cuestiones.

Observa el sistema de ecuaciones anterior.
Enfócate en los coeficientes y nota la siguiente eventualidad:
Si miramos los coeficientes de la $X$ veremos que con una simple operación podemos convertir el $3$ en $6$, simplemente multiplicando por $2$.
y ¿qué pasa con los coeficientes de la $Y$? Aquí será un poco más complicado porque deberemos llevar a cabo una operación matemática en las dos ecuaciones.
Por eso, decidiremos que queremos convertir en $6$ al coeficiente en la primera ecuación ya que todo lo que deberemos hacer es una simple operación matemática: multiplicar por $2$ sólo a ambos miembros de la primera ecuación.

$3X-2Y=11$

$6x+5y=4$

Obtendremos:

$2\times3x-2y=22$

$6x+5y=4$

¡Recuerda! Para llegar a una ecuación equivalente debes multiplicar ambos miembros de la ecuación.
Si en cierto miembro hay una expresión como la de nuestro ejemplo no te olvides de incluirla entre paréntesis y multiplicar todo lo que está adentro por el término deseado.
Seguiremos resolviendo paréntesis y obtendremos:

$6x-4y=22$

Ésta es la nueva ecuación equivalente.
Hemos conseguido igualar los coeficientes de la $X$ en ambas ecuaciones.
Ahora, aplicaremos el método que aprendimos a usar cuando los coeficientes son iguales en alguna de las incógnitas.
Escribamos las ecuaciones, una debajo de la otra en el orden correcto, restemos las ecuaciones, encontraremos una incógnita, la colocaremos en una de las ecuaciones y obtendremos la segunda incógnita.

No nos olvidemos de ubicar la $Y$ en una de las ecuaciones originales para hallar la $X$, llegaremos a que $x=7/3$.

De hecho, cuando tienes un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y deseas utilizar el método de igualación, observa primero a las ecuaciones y fíjate a qué caso corresponde el sistema.
Si corresponde al caso en que hay coeficientes iguales en alguna incógnita, opuestos o completamente diferentes, de este modo podrás elegir el modo más eficiente y correcto para la resolución.

A veces podríamos encontrarnos con un sistema de ecuaciones que no tiene solución o que tiene infinitas soluciones.
Si nos dan un sistema de dos ecuaciones con coeficientes iguales en dos incógnitas de las dos ecuaciones, o sea, el coeficiente de la $X$ es el mismo en las dos ecuaciones y también el de la $Y$ es igual en ambas ecuaciones, pero el número libre es distinto, obtendremos la expresión de:

$0=$ cualquier número que no sea $0$

¡Esta expresión es falsa!
$0$ no puede equivaler a ningún otro número que no sea $0$, por lo tanto, diremos que este sistema de ecuaciones no tiene solución.

En cambio, si son iguales los coeficientes de las dos incógnitas en ambas ecuaciones y también lo es el número libre (dos ecuaciones idénticas), podremos determinar inmediatamente que este sistema tiene infinitas soluciones.
¿Por qué? Porque no importa qué $X$ y qué $Y$ elijamos, ya que se trata de dos ecuaciones idénticas totalmente, la expresión que se obtendrá será siempre la misma.
Otra manera de entenderlo con el método de los coeficientes es restar las ecuaciones idénticas y obtener $0=0$. Expresión verdadera.
¡Genial! Ahora ya sabes resolver algebraicamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Un momento... Pero, ¿qué pasa cuando no te dan el sistema y tú debes construirlo en base a un problema verbal?
Suerte que lo preguntas.

A veces, cuando quieren que pensemos un poco más y que deduzcamos los datos por nuestros propios medios, no nos darán un sistema de ecuaciones dado sino un problema verbal de la cual deberemos deducir cuáles son las ecuaciones acordes.
En general, deberemos entender las condiciones en el problema y en base a eso crear las ecuaciones correctas.

Aquí está el problema

¿Cuál es el precio de un pantalón y el de una camisa si sabemos que el pantalón cuesta el doble que la camisa y que el costo de $5$ pantalones es $22$$ mayor que el de $8$ camisas?

OK.
Puede ser que estés mirando el problema y te preguntes cómo puedes llegar de ella a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
No te preocupes, no es tan complicado. Simplemente hay que concentrarse y leer el problema con detenimiento.
En el primer paso leeremos el problema sin escribir los parámetros.
A primera mirada entendemos que aquí hay dos incógnitas que debemos descubrir, el precio del pantalón y el de la camisa.
Nos dan información sobre los precios y también ciertas condiciones que deben cumplir como por ejemplo, el precio del pantalón es el doble que el de la camisa.
En el segundo paso denominaremos las incógnitas con las letras $X$ y $Y$.
Marcaremos y escribiremos de forma aleatoria:

Precio de la camisa $=X$
Precio del pantalón $=Y$

El tercer paso es transponer los parámetros dados verbalmente a las ecuaciones correspondientes.
¿Cómo lo haremos?
Comencemos a leer nuevamente la pregunta y nos toparemos con la primera condición: el precio del pantalón es el doble que el de la camisa.
Es decir, para que el precio del pantalón sea igual que el de la camisa hay que multiplicar el precio de la camisa por $2$.
Entendemos que esto podría parecer un poco confuso, concentrate y verás que, ya que el precio del pantalón es el doble que el de la camisa, para igualarlos deberemos multiplicar el precio de la camisa de la siguiente manera:

$y=2x$

Nota que primero hemos señalado a la $X$ como el precio de la camisa y a la $Y$ como el precio del pantalón.
Ésta es nuestra primera ecuación en nuestro sistema de ecuaciones.
Ahora seguiremos leyendo el problema y nos toparemos con la segunda condición: el costo de $5$ pantalones es $22$$ mayor que el de $8$ camisas.
Es decir, Para crear una ecuación, igualar el precio de una camisa con el de un pantalón, deberemos hacer varias operaciones.
Esta condición es un poco más complicada que la anterior, pero, si entiendes la técnica te saldrá con facilidad.
El precio de $5$ pantalones, o sea, $5Y$
es $22$$ mayor que el de $8$ camisas, o sea, $8X$.
De hecho, deberemos añadir $22$ al precio de $8$ camisas $=8X$ para igualar el costo de $5$ pantalones $=5Y$.
Expresémoslo en la ecuación:

$5y=8x+22$

Otra forma de entender esta condición es pensar que la diferencia entre el precio de $5$ pantalones y el de $8$ camisas es $22$, de este modo obtendríamos una ecuación equivalente a la que hemos encontrado, sólo que en un orden diferente:

$5y-8x=22$

Ahora también tenemos la segunda ecuación y podemos traerla al sistema de ecuaciones:

$y=2x$
$5y=8x+22$

Podemos elegir el método que queramos: igualación o sustitución y hallar las dos incógnitas.
En este caso, estando la $Y$ ya aislada, recomendaríamos sólo colocarla en la segunda ecuación, descubrir el valor de $X$ y luego no olvidarse de volver a descubrir el valor de $Y$.

Recuerda qué es lo que te habían preguntado en el problema: ¿Cuál es el precio de un pantalón y el de una camisa?
En este ejemplo:

$5 \times 2x=8x+22$
$10x=8x+22$
$2x=22$
$x=11$

Señalamos la $X$ como el precio de la camisa y, por lo tanto, el precio de la camisa es $11$$.
Ahora pasemos a calcular el precio del pantalón:
Pongamos $x=11$

en un ecuación muy simple:
$​​​​​​​y=2x$

y obtendremos:
$y=22$

Es decir, el precio del pantalón es $22$$.

La mejor manera para encontrar la respuesta a este tipo de problemas es leer la pregunta varias veces y entender exactamente qué nos cuenta.
Trabaja con los pasos que te hemos detallado aquí arriba, practica otros problemas, tópate con casos diferentes y podrás asegurarte de dominar el tema de forma excepcional.

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