Aplicación de reglas de exponentes combinados: Calculando potencias con exponentes negativos

$(3\times2\times4\times6)^{-4}=$

Utilizamos la propiedad de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(3\cdot2\cdot4\cdot6)^{-4}=3^{-4}\cdot2^{-4}\cdot4^{-4}\cdot6^{-4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

$3^{-4}\times2^{-4}\times4^{-4}\times6^{-4}$

$7^{-4}=\text{?}$

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$7^{-4}=\frac{1}{7^4}=\frac{1}{2401}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$\frac{1}{2401}$

$\frac{1}{4^{-3}}=?$

Primero recordemos la propiedad de potenciación negativa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$La aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{4^{-3}}=4^{-(-3)}=4^3=64$Cuando en el primer paso aplicamos cuidadosamente la ley de potencias antes mencionada, y esto se debe a que el término en el denominador de la fracción ya es un término con una potencia negativa, por lo tanto al usar la propiedad anterior ponemos la potencia del término que estaba en el denominador de la fracción entre paréntesis (y esto es para aplicar el signo menos que pertenece a la propiedad de potencias más adelante), posteriormente simplificamos el exponente en la expresión resultante.

En el último paso calculamos el resultado numérico de la expresión que obtuvimos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$64$

$(0.25)^{-2}=\text{?}$

Primero convertimos la fracción decimal del problema en una fracción simple:

$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$Cuando recordamos que 0,25 son 25 centésimas, es decir:

$25\cdot\frac{1}{100}=\frac{25}{100}$Entonces, reescribimos el problema:

$(0.25)^{-2}=\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=\text{?}$Ahora usamos la propiedad de potenciación negativa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y nos ocupamos de la expresión fraccionaria dentro del paréntesis:

$\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=(4^{-1})^{-2}$Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada a la expresión dentro del paréntesis,

A continuación recordamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Y aplicamos esta propiedad que obtuvimos en el último paso:

$(4^{-1})^{-2}=4^{(-1)\cdot(-2)}=4^2=16$Cuando en el primer paso aplicamos cuidadosamente la propiedad antes mencionada y utilizamos paréntesis en el exponente para realizar la multiplicación entre las potencias, posteriormente simplificamos la expresión resultante y finalmente calculamos el resultado numérico obtenido en el último paso.

Resumimos los pasos de la solución:

$(0.25)^{-2}=\big(\frac{1}{4}\big)^{-2}=4^{(-1)\cdot(-2)}=16$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$16$

$(-5)^{-3}=\text{?}$

Primero recordemos la propiedad de potenciación negativa:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$La aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$(-5)^{-3}=\frac{1}{(-5)^3}$Posteriormente recordemos la propiedad de potenciación para una potencia entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$La aplicamos al denominador de la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(-5)^3}=\frac{1}{(-1\cdot5)^3}=\frac{1}{(-1)^3\cdot5^3}=\frac{1}{-1\cdot5^3}=-\frac{1}{5^3}=-\frac{1}{125}$Cuando en el primer paso presentamos el número negativo dentro del paréntesis en el denominador como una multiplicación entre un número positivo y el menos uno, y luego abrimos el paréntesis mediante la propiedad de potenciación para una multiplicación aplicada al producto entre paréntesis, luego simplificamos la expresión.

Resumimos la solución al problema:

$(-5)^{-3}=\frac{1}{(-5)^3} =\frac{1}{-5^3}=-\frac{1}{125}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$-\frac{1}{125}$

$(3a)^{-2}=\text{?}$

$a\ne0$

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$(3a)^{-2}=\frac{1}{(3a)^2}$A continuación, recordamos la propiedad de potenciación mencionada anteriormente sobre la multiplicación entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Y lo aplicamos al denominador de la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(3a)^2}=\frac{1}{3^2a^2}=\frac{1}{9a^2}$Resumamos la solución del problema:

$(3a)^{-2}=\frac{1}{(3a)^2} =\frac{1}{9a^2}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$\frac{1}{9a^2}$

$12^4\cdot12^{-6}=\text{?}$

Primero usamos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$12^4\cdot12^{-6}=12^{4+(-6)}=12^{4-6}=12^{-2}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y luego simplificamos la expresión en el exponente,

A continuación, usamos la propiedad de potencias negativas:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y lo aplicamos en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$12^{-2}=\frac{1}{12^2}=\frac{1}{144}$Resumimos la solución al problema: $12^4\cdot12^{-6}=12^{-2} =\frac{1}{144}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$\frac{1}{144}$

$7^5\cdot7^{-6}=\text{?}$

Primero usamos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$7^5\cdot7^{-6}=7^{5+(-6)}=7^{5-6}=7^{-1}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y luego simplificamos la expresión en el exponente,

A continuación, usamos la propiedad de potencias negativas:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Y lo aplicamos en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$7^{-1}=\frac{1}{7^1}=\frac{1}{7}$Resumimos la solución al problema: $7^5\cdot7^{-6}=7^{-1}=\frac{1}{7}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$$$\frac{1}{7}$

$(\frac{2}{3})^{-4}=\text{?}$

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$

Por lo tanto, obtenemos:

$(\frac{3}{2})^4$

Usamos la fórmula:

$(\frac{b}{a})^n=\frac{b^n}{a^n}$

Por lo tanto, obtenemos:

$\frac{3^4}{2^4}=\frac{3\times3\times3\times3}{2\times2\times2\times2}=\frac{81}{16}$

$\frac{81}{16}$

Resuelva el siguiente ejercicio:

$(5\cdot12\cdot4\cdot6)^{a+3bx}$

Utiliza la propiedad de potencias para una potencia en un paréntesis donde en el mismo existe una multiplicación de sus términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$(5\cdot12\cdot4\cdot6)^{a+3bx}=5^{a+3bx}12^{a+3bx}4^{a+3bx}6^{a+3bx}$Cuando aplicamos una potencia para un paréntesis donde se multiplican sus términos retención lo realizamos por separado y mantenemos la multiplicación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

$5^{a+3bx}12^{a+3bx}4^{a+3bx}6^{a+3bx}$

$(8\times9\times5\times3)^{-2}=$

Utilizamos la propiedad de potencias para el producto entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Es decir que la potencia aplicada a un producto entre paréntesis se aplica a cada término del mismo cuando se abren los paréntesis,

Aplicamos la propiedad para el problema:

$(8\cdot9\cdot5\cdot3)^{-2}=8^{-2}\cdot9^{-2}\cdot5^{-2}\cdot3^{-2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

$8^{-2}\times9^{-2}\times5^{-2}\times3^{-2}$

$10\cdot10^2\cdot10^{-4}\cdot10^{10}=$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}$Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

Primero tengamos en cuenta que:

$10=10^1$Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

$10^1\cdot10^2\cdot10^{-4}\cdot10^{10}=10^{1+2-4+10}=10^9$

$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

$$$10^9$

$5^{-3}\cdot5^0\cdot5^2\cdot5^5=$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}$Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

$$$$Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

$5^{-3}\cdot5^0\cdot5^2\cdot5^5=5^{-3+0+2+5}=5^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

Tengamos en cuenta que $5^0=1$

$5^4$

$E^6\cdot F^{-4}\cdot E^0\cdot F^7\cdot E=$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Cabe recalcar que esta propiedad sólo es válida para términos con bases idénticas,

Retornamos al problema

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

$E^6\cdot F^{-4}\cdot E^0\cdot F^7\cdot E=E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7$Posteriormente aplicamos la ley de potencias mencionada para cada tipo de término por separado,

$E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7=E^{6+0+1}\cdot F^{-4+7}=E^7\cdot F^3$

$$Cuando en realidad aplicamos la ley antes mencionada por separado - para los términos cuyas base$E$y para los términos cuyas bases $F$y sumamos los exponentes cuando insertamos todos los términos con la misma base en la misma base.

La respuesta correcta es entonces la opción d.

Nota:

Usamos el hecho de que:

$E=E^1$.

$E^7\cdot F^3$

$10^{-5}=?$

$0.00001$

Resuelva el ejercicio

$\frac{y^3}{y^6}\times\frac{y^4}{y^{-2}}\times\frac{y^{12}}{y^7}=$

$y^8$

$45^{-80}\cdot\frac{1}{45^{-81}}\cdot49\cdot7^{-5}=\text{?}$

$\frac{45}{7^3}$

$9^{300}\cdot\frac{1}{9^{-252}}\cdot9^{-549}=\text{?}$

$\frac{1}{9^{-3}}$

$\frac{1}{-3}\cdot3^{-4}\cdot5^3=\text{?}$

$-\frac{5^3}{3^5}$

$4^{2x}\cdot\frac{1}{4}\cdot4^{-2}=\text{?}$

$\frac{1}{4^{3-2x}}$