Aplicación de reglas de exponentes combinados: Presentando potencias en el denominador como potencias con exponentes negativos

$\frac{1}{12^3}=\text{?}$

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{12^3}=12^{-3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$12^{-3}$

$\frac{1}{2^9}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{2^9}=2^{-9}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$2^{-9}$

$\frac{1}{8^3}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$\frac{1}{8^3}=8^{-3}$Cuando usamos esta propiedad mencionada anteriormente en el sentido contrario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$8^{-3}$

$\frac{1}{(-2)^7}=?$

Primero nos ocupamos de la expresión en el denominador de la fracción y recordamos de acuerdo a la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Obtenemos que:

$(-2)^7=(-1\cdot2)^7=(-1)^7\cdot2^7=-1\cdot2^7=-2^7$Regresamos al problema y aplicamos lo dicho anteriormente:

$\frac{1}{(-2)^7}=\frac{1}{-2^7}=\frac{1}{-1}\cdot\frac{1}{2^7}=-\frac{1}{2^7}$$$Cuando en el último paso recordamos que:

$\frac{1}{-1}=-1$A continuación recordamos la propiedad de potenciación para una potencia negativa

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos a la expresión que obtuvimos en el último paso:

$-\frac{1}{2^7}=-2^{-7}$Resumamos los pasos de la solución:

$\frac{1}{(-2)^7}=-\frac{1}{2^7} = -2^{-7}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$(-2)^{-7}$

$\frac{27}{3^8}=\text{?}$

Primero tengamos en cuenta que 27 es una potencia del número 3:

$27=3^3$Usando este hecho se da una situación en la que en el numerador de la fracción y su denominador obtendremos términos con bases idénticas, lo aplicamos en el problema:

$\frac{27}{3^8}=\frac{3^3}{3^8}$Ahora recordemos la propiedad de potenciación para la división entre términos sin bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos la propiedad en la última expresión que obtuvimos:

$\frac{3^3}{3^8}=3^{3-8}=3^{-5}$Cuando en la primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y en la segunda etapa simplificamos la expresión que recibimos en el exponente,

Resumimos los pasos de resolución, obtuvimos:

$\frac{27}{3^8}=\frac{3^3}{3^8}=3^{-5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$3^{-5}$

$\frac{2}{4^{-2}}=\text{?}$

Primero tengamos en cuenta que 4 es una potencia de 2:

$4=2^2$Por lo tanto, podemos hacer un movimiento hacia una base uniforme para todos los términos del problema,

Aplicamos esto:

$\frac{2}{4^{-2}}=\frac{2}{(2^2)^{-2}}$A continuación utilizamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad al término en el denominador de la fracción obtenida en el último paso:

$\frac{2}{(2^2)^{-2}}=\frac{2}{2^{2\cdot(-2)}}=\frac{2}{2^{-4}}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad antes mencionada en el denominador de la fracción y en el segundo paso simplificamos la expresión resultante,

A continuación utilizamos la propiedad de potenciación de división entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la última expresión que obtuvimos:

$\frac{2}{2^{-4}}=2^{1-(-4)}=2^{1+4}=2^5$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$2\cdot4^2$

$\frac{10}{(-5)^3}=\text{?}$

Primero tengamos en cuenta que:

A.

$10=5\cdot2$Para ello recordemos la propiedad de potenciación para una multiplicación entre paréntesis:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$En consecuencia, obtenemos que:

$(-5)^3=(-1\cdot5)^3=(-1)^3\cdot5^3=-1\cdot5^3=-5^3$Nos gustaría utilizar el entendimiento en A para obtener términos con bases idénticas en el numerador y denominador,

Regresemos al problema y apliquemos los conocimientos anteriores de A y B:

$\frac{10}{(-5)^3}=\frac{2\cdot5}{-5^3}=\frac{2}{-1}\cdot\frac{5}{5^3}=-2\cdot\frac{5}{5^3}$Cuando en el primer paso usamos A en el numerador y B en el denominador de la fracción, en el siguiente paso presentamos la fracción como multiplicación de fracciones según la regla de la multiplicación entre fracciones, posteriormente simplificamos la primera fracción en la multiplicación.

Ahora usamos la propiedad de potenciación para dividir entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos:

$-2\cdot\frac{5}{5^3}=-2\cdot5^{1-3}=-2\cdot5^{-2}$Cuando en el primer paso aplicamos esta propiedad a la fracción de la multiplicación y luego simplificamos la expresión que obtuvimos,

Resumimos los pasos de resolución:

$\frac{10}{(-5)^3} =-2\cdot\frac{5}{5^3} =-2\cdot5^{-2}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$-2(-5)^{-2}$

$\frac{1}{a^n}=\text{?}$

$a\ne0$

$a^{-n}$$$