Aplicación de reglas de exponentes combinados: Dos Términos

Utilizamos la fórmula:

$(a\times b)^n=a^nb^n$

$(5\times x\times3)^3=(15x)^3$

$(15x)^3=(15\times x)^3$

$15^3x^3$

Utilizamos la fórmula:

$(a\times b)^x=a^xb^x$

Por lo tanto, obtenemos:

$(a\times5\times6\times y)^5=(a\times30\times y)^5$

$a^530^5y^5$

Utilizamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

$(\frac{4^2}{7^4})^2=\frac{(4^2)^2}{(7^4)^2}$

Ahora utilizamos la fórmula para multiplicar potencias:

$(a^n)^m=a^{n\times m}$

$\frac{4^{2\times2}}{7^{4\times2}}=\frac{4^4}{7^8}$

Utiliza la ley de potencias para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$

Aplicamos la ley en el problema:

$(x\cdot4\cdot3)^3= x^3\cdot4^3\cdot3^3$

Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis al producto de los términos a cada término del producto por separado y mantenemos el producto,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Lo aplicamos en el problema:

$(y\cdot7\cdot3)^4=y^4\cdot7^4\cdot3^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Utilizamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

$(\frac{2}{6})^3=(\frac{2}{2\times3})^3$

Simplificamos:

$(\frac{1}{3})^3=\frac{1^3}{3^3}$

$\frac{1\times1\times1}{3\times3\times3}=\frac{1}{27}$

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Descomponemos la fracción entre paréntesis:

$(\frac{1}{7})^4=\frac{1^4}{7^4}$

Obtenemos:

$7^4\times8^3\times\frac{1^4}{7^4}$

Simplificamos las potencias: $7^4$

Obtenemos:

$8^3\times1^4$

Recordemos que el número 1 en cualquier potencia es igual a 1, por lo que obtenemos:

$8^3\times1=8^3$

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$

Por lo tanto, obtenemos:

$(\frac{3}{2})^4$

Usamos la fórmula:

$(\frac{b}{a})^n=\frac{b^n}{a^n}$

Por lo tanto, obtenemos:

$\frac{3^4}{2^4}=\frac{3\times3\times3\times3}{2\times2\times2\times2}=\frac{81}{16}$