Aplicación de reglas de exponentes combinados: Variable en la base de la potencia

Utilizamos la fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

y por lo tanto obtenemos:

$(a^5)^7=a^{5\times7}=a^{35}$

Primero reescribimos la primera expresión de la izquierda del problema como una fracción:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5$Posteriormente usamos dos propiedades de potenciación, para multiplicar y dividir términos con bases idénticas:

A.

$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$2.

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$Regresamos al problema y aplicamos las dos propiedades de potenciación mencionadas anteriormente:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5=a^{2-1}+a^{3+5}=a^1+a^8=a+a^8$

Más adelante tengamos en cuenta que debemos descomponer en factores la expresión que obtuvimos en el último paso extrayendo el factor común,

Por lo tanto, extraemos de fuera de los paréntesis el máximo divisor común a los dos términos que son:

$a$ Obtenemos la expresión:

$a+a^8=a(1+a^7)$cuando utilizamos la propiedad de potenciación mencionada anteriormente en A.

$$$a^8=a^{1+7}=a^1\cdot a^7=a\cdot a^7$

Resumiendo la solución al problema y todos los pasos, obtuvimos lo siguiente:

$\frac{a^2}{a}+a^3\cdot a^5=a(1+a^{7)}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

En el ejercicio de multiplicación de potencias sumaremos todas las potencias de un mismo producto, en este caso los términos a,b

Utilizamos la fórmula:

$a^n\times a^m=a^{n+m}$

Vamos a enfocarnos en el término a:

$a^3\times a^2=a^{3+2}=a^5$

Vamos a enfocarnos en el término b:

$b^4\times b^5=b^{4+5}=b^9$

Por lo tanto, el ejercicio que se obtendrá tras la simplificación es:

$a^5\times b^9$

Utilizamos la fórmula:

$(a\times b)^n=a^nb^n$

$(5\times x\times3)^3=(15x)^3$

$(15x)^3=(15\times x)^3$

$15^3x^3$

Utilizamos la fórmula

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

Por lo tanto obtenemos:

$a^{4\times6}=a^{24}$

Utilizamos la fórmula:

$(a\times b)^x=a^xb^x$

Por lo tanto, obtenemos:

$(a\times5\times6\times y)^5=(a\times30\times y)^5$

$a^530^5y^5$

Utilizamos la fórmula

$(a\times b)^x=a^xb^x$

Por lo tanto, obtenemos:

$a^2b^28^2$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Cabe recalcar que esta propiedad sólo es válida para términos con bases idénticas,

Retornamos al problema

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

$a\cdot b\operatorname{\cdot}a\operatorname{\cdot}b\operatorname{\cdot}a^2=a\cdot a\cdot a^2\cdot b\cdot b$Posteriormente aplicamos la ley de potencias mencionada para cada tipo de término por separado,

$a\cdot a\cdot a^2\cdot b\cdot b=a^{1+1+2}\cdot b^{1+1}=a^4\cdot b^2$

$$Cuando en realidad aplicamos la ley antes mencionada por separado - para los términos cuyas base$a$y para los términos cuyas bases $b$y sumamos los exponentes cuando insertamos todos los términos con la misma base en la misma base.

$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

Usamos el hecho de que:

$a=a^1$y lo mismo para $b$.

Utilizamos la fórmula

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

Por lo tanto obtenemos:

$((b^3)^6)^2=(b^{3\times6})^2=(b^{18})^2=b^{18\times2}=b^{36}$

Usando la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Cabe destacar que esta ley sólo es válida para términos con bases idénticas,

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

$k^2t^4k^6t^2=k^2k^6t^4t^2$Más adelante aplicamos la mencionada propiedad de multiplicación a cada tipo diferente de término por separado,

$k^2k^6t^4t^2=k^{2+6}t^{4+2}=k^8t^6$Cuando en realidad aplicamos la propiedad antes mencionada por separado - para los términos cuyas bases son$k$y para los términos cuyas bases son$t$Sumamos las potencias en el exponente cuando insertamos todos los términos con la misma base.

La respuesta correcta entonces es la opción b.

Utiliza la ley de potencias para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$

Aplicamos la ley en el problema:

$(x\cdot4\cdot3)^3= x^3\cdot4^3\cdot3^3$

Cuando aplicamos la potencia entre paréntesis al producto de los términos a cada término del producto por separado y mantenemos el producto,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Utilizamos la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$\big((y^6)^8\big)^9=(y^{6\cdot8})^9=y^{6\cdot8\cdot9}=y^{432}$Cuando usamos la propiedad antes mencionada dos veces, la primera vez para los paréntesis internos en la primera etapa y la segunda vez para los paréntesis restantes en la segunda etapa, en la última etapa calculamos el resultado de la multiplicación en el exponente de potencia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre paréntesis:

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$Lo aplicamos en el problema:

$(y\cdot7\cdot3)^4=y^4\cdot7^4\cdot3^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos del producto entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la propiedad anterior es válida para una potencia sobre un producto de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Utilizamos la fórmula:

$(a\times b)^n=a^nb^n$

$(y\times x\times3)^5=y^5x^53^5$

Primero, simplifica el numerador y el denominador por separado:
Numerador: $X^4 \cdot X^3 = X^{4+3} = X^7$
Denominador: $X^5 \cdot X^2 = X^{5+2} = X^7$

Ahora, combina el numerador y denominador simplificados:

$\frac{X^7}{X^7}$

Como cualquier número dividido por sí mismo es 1, tenemos:

$\frac{X^7}{X^7} = 1$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

$1$

Usamos la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente en una multiplicación entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Esto dice que una potencia aplicada a una multiplicación entre paréntesis se aplica a cada término de la multiplicación cuando se abren los paréntesis,

Lo aplicamos en el problema:

$(3x^2)^2=3^2(x^2)^2$Cuando en el segundo término de la multiplicación nos ocupamos con cuidado, y esto es porque ya está en una potencia, por eso usamos paréntesis, al término lo trabajaremos usando la ley de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$y lo aplicamos en el problema:

$3^2(x^2)^2=9x^{2\cdot2}=9x^4$Cuando en el primer paso calculamos adicionalmente el resultado de la potencia de la parte numérica, y en el segundo paso calculamos el resultado de la multiplicación del exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Lo aplicamos en el problema:

$Y^2+Y^6-Y^5\cdot Y=Y^2+Y^6-Y^{5+1}=Y^2+Y^6-Y^6=Y^2$Cuando aplicamos la propiedad anterior a la tercera expresión desde la izquierda en la suma, y ​​luego simplificamos la expresión total recopilando términos semejantes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Cabe recalcar que esta propiedad sólo es válida para términos con bases idénticas,

Retornamos al problema

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

$E^6\cdot F^{-4}\cdot E^0\cdot F^7\cdot E=E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7$Posteriormente aplicamos la ley de potencias mencionada para cada tipo de término por separado,

$E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7=E^{6+0+1}\cdot F^{-4+7}=E^7\cdot F^3$

$$Cuando en realidad aplicamos la ley antes mencionada por separado - para los términos cuyas base$E$y para los términos cuyas bases $F$y sumamos los exponentes cuando insertamos todos los términos con la misma base en la misma base.

La respuesta correcta es entonces la opción d.

Nota:

Usamos el hecho de que:

$E=E^1$.

Utilizamos la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$\big((a^2)^3\big)^{\frac{1}{4}}=(a^{2\cdot3})^{\frac{1}{4}}=a^{2\cdot3\cdot\frac{1}{4}}=a^{\frac{6}{4}}=a^{\frac{3}{2}}$Cuando usamos la propiedad mencionada anteriormente dos veces, la primera vez para los paréntesis internos en la primera etapa y la segunda vez para los paréntesis restantes en la segunda etapa, en la tercera etapa calculamos el resultado de la multiplicación en el exponente. Mientras recordamos que multiplicar por una fracción en realidad es duplicar el numerador de la fracción y, finalmente, en la última etapa simplificamos la fracción que obtuvimos en el exponente.

Ahora recuerda que

$\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1.5$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.