Uso del Teorema de Pitágoras: Usando formas geométricas adicionales

En el rectángulo ABCD dado:

$BD=25,BC=7$

Calcula el área del rectángulo.

Para hallar el lado DC usaremos el teorema de Pitágoras:

$(BC)^2+(DC)^2=(DB)^2$

Ahora reemplazaremos en el teorema los datos existentes:

$7^2+(DC)^2=25^2$

$49+DC^2=625$

$DC^2=625-49=576$

Extraemos la raíz:

$DC=\sqrt{576}=24$

168

Dado el trapecio DECB rectángulo y parte del triángulo ABC.

Dado en cm AB=6 AC=10

DE divide en dos a AB y AC respectivamente

Calcula el área del trapecio DECB.

Dado que DE cruza AB y AC, es decir:

$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6=3$

$AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times10=5$

Ahora vamos a observar el triángulo ADE, donde ya hemos calculado 2 de sus lados.

Ahora podemos hallar el tercer lado DE usando el teorema de Pitágoras:

$AD^2+DE^2=AE^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$3^2+DE^2=5^2$

$9+DE^2=25$

$DE^2=25-9$

$DE^2=16$

Extraemos la raíz:

$DE=\sqrt{16}=4$

Ahora observemos el triángulo ABC en el que se nos dan dos de los lados,

Ahora podemos hallar el tercer lado BC usando el teorema de Pitágoras:

$AB^2+BC^2=AC^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$6^2+BC^2=10^2$

$36+BC^2=100$

$BC^2=100-36$

$BC^2=64$

Extraemos la raíz:

$BC=\sqrt{64}=8$

Ahora tenemos todos los datos para calcular el área del trapecio DECB mediante la fórmula:

(base + base) multiplicado por la altura dividido 2:

Tengamos en cuenta que la altura en el trapecio es DB

$S=\frac{(4+8)}{2}\times3$

$S=\frac{12\times3}{2}=\frac{36}{2}=18$

18

Dado el cuadrado:

¿La suma de las dos diagonales es mayor que la suma de los 3 lados del cuadrado?

Miremos el triángulo BCD, calculemos la diagonal por el teorema de Pitágoras:

$DC^2+BC^2=BD^2$

Como nos dan un lado, sabemos que los otros lados son iguales a 4, por lo que reemplazaremos en consecuencia en la fórmula:

$4^2+4^2=BD^2$

$16+16=BD^2$

$32=BD^2$

Extraemos la raíz:$BD=AC=\sqrt{32}$

Ahora calculamos la suma de las diagonales:

$2\times\sqrt{32}=11.31$

Ahora calculamos la suma de los 3 lados del cuadrado:

$4\times3=12$

Y revelamos que la suma de las dos diagonales es menor que la suma de los 3 lados del cuadrado.

11.31 < 12

Falso

Dado el rombo del dibujo:

¿Cuál es el área?

Recuerda que hay dos opciones para calcular el área de un rombo:

Diagonal por diagonal dividido 2.

Lado por la altura del lado.

En la pregunta se nos da solo la mitad de la diagonal y se nos da el lado, lo que significa que no podemos usar ninguna de las fórmulas.

Necesitamos encontrar más datos. Encontremos la segunda diagonal:

Recordemos que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí, lo que significa que forman un ángulo de 90 grados.

Por lo tanto, todos los triángulos de un rombo son rectángulos.

Ahora podemos centrarnos en el triángulo donde están dados el lado y la altura, y calcularemos el tercer lado por el teorema de Pitágoras:

$a²+b²=c²$Reemplazamos los datos:

$3^2+x^2=5^2$$9+x^2=25$$x^2=25-9=16$$x=\sqrt{16}=4$Ahora que hemos hallado la mitad de la segunda diagonal, podemos calcular el área mediante la diagonal por diagonal:

Dado que las diagonales en un rombo son perpendiculares y se cruzan entre sí, son iguales. Por lo tanto nuestras diagonales son iguales:

$3+3=6$$4+4=8$Por lo tanto, el área del rombo es:

$\frac{6\times8}{2}=\frac{48}{2}=24$

24

Dado el triángulo ABC isósceles,
y en su interior se traza EF, paralelo a CB:

AF=5 AB=17
AG=3 AD=8
AD la altura en el triángulo

¿Cuál es el área del trapecio EFBC?

Para hallar el área del trapecio, debes recordar su fórmula:$\frac{(base+base)}{2}+\text{altura}$Nos centraremos en hallar las bases.

Para hallar GF usamos el teorema de Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$ En el triángulo AFG

Reemplazamos:

$3^2+GF^2=5^2$

Aislamos a GF y resolvemos:

$9+GF^2=25$

$GF^2=25-9=16$

$GF=4$

Realizaremos el mismo proceso con el lado DB en el triángulo ABD:

$8^2+DB^2=17^2$

$64+DB^2=289$

$DB^2=289-64=225$

$DB=15$

A partir de aquí hay dos formas de finalizar el ejercicio:

1. Calcular el área del trapecio GFBD, demostrar que es igual al trapecio EGDC y sumarlos.

2. Usar los datos que hemos revelado hasta ahora para encontrar las partes del trapecio EFBC y resolver.

Comencemos hallando la altura de GD:

$GD=AD-AG=8-3=5$

Ahora revelamos que EF y CB:

$GF=GE=4$

$DB=DC=15$

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales entonces:

$EF=GF\times2=4\times2=8$

$CB=DB\times2=15\times2=30$

Reemplazamos los datos en la fórmula del trapecio:

$\frac{8+30}{2}\times5=\frac{38}{2}\times5=19\times5=95$

95

Dado el triángulo ABC isósceles,

El lado AD es la altura en el triángulo ABC

y en su interior se traza a EF:

AF=5 AB=17
AG=3 AD=8

¿Cuál es el perímetro del trapecio EFBC?

Para hallar el perímetro del trapecio se debe sumar todos sus lados:

Nos centraremos en hallar las bases.

Para hallar a GF usamos el teorema de Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$en el triángulo AFG

Reemplazamos

$3^2+GF^2=5^2$

Aislamos a GF y resolvemos:

$9+GF^2=25$

$GF^2=25-9=16$

$GF=4$

Realizamos el mismo proceso con el lado DB del triángulo ABD:

$8^2+DB^2=17^2$

$64+DB^2=289$

$DB^2=289-64=225$

$DB=15$

Comenzamos hallando a FB:

$FB=AB-AF=17-5=12$

Ahora revelamos a EF y CB:

$GF=GE=4$

$DB=DC=15$

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales entonces:

$EF=GF\times2=4\times2=8$

$CB=DB\times2=15\times2=30$

Todo lo que falta es calcular:

$30+8+12\times2=30+8+24=62$

62

ABCD es un paralelogramo
BFCE es un deltoide

¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?

Primero, debemos recordar la fórmula del área de un paralelogramo:$\text{Lado }x\text{ Altura}$.

En este caso intentaremos hallar la altura CH y el lado BC.

Comenzamos desde el lado

Primero, observemos el pequeño triángulo EBG,

Como es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras (

$A^2+B^2=C^2$)

$BG^2+4^2=5^2$

$BG^2+16=25$

$BG^2=9$

$BG=3$

Ahora, comencemos a buscar GC.

Primero, recuerda que el deltoide tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto:$FC=EC=9$

Ahora también podemos hacer en el triángulo GCE Pitágoras.

$GC^2+4^2=9^2$

$GC^2+16=81$

$GC^2=65$

$GC=\sqrt{65}$

Ahora podemos calcular el lado BC:

$BC=BG+GT=3+\sqrt{65}\approx11$

Ahora, observemos el triángulo BGE y DHC

Ángulo BGE = 90°
Ángulo CHD = 90°
Ángulo CDH=EBG porque estos son ángulos opuestos paralelos.

Por lo tanto, entre los dos triángulos existe una razón de semejanza, entonces:

$\frac{HD}{BG}=\frac{HC}{GE}$

$\frac{HD}{BG}=\frac{7.5}{3}=2.5$

$\frac{HC}{EG}=\frac{HC}{4}=2.5$

$HC=10$

Ahora que hay una altura y un lado solo queda calcular.

$10\times11\approx110$

$\approx110$

Dado el rectángulo ABCD

Es sabido que:

AB=4

AD=3

¿Cuál es la longitud de la diagonal BD?

$5$

Dado el rectángulo ABCD

Es sabido que:

BC=5

AB=12

Calcula la diagonal del rectángulo

$13$

ABCD es un cuadrado cuyo largo del lado es 8 cm

EB=10 lado en paralelogramo EBFC

¿Cuál es el área del paralelogramo EBFC?

112 cm²

Dado ABCD deltoide AB=AC DC=BD

Las diagonales del deltoide se cortan en el punto O

Dado en cm AO=12 OD=4

El área del deltoide es igual a 48 cm²

Calcula el lado CD

5 cm

Dado el deltoide ABCD el perímetro es igual a 30cm², calcula su área

$3\sqrt{91}$ cm²

Dado: el trapecio ABCD es parte del rectángulo.

Dado en cm DC=12 BK=3 altura del trapecio H=4

Calcula el área del trapecio

36

Dado el trapecio ABCD isósceles

Dado en cm DF=2 AD=$\sqrt{20}$

Dado que el cuadrilátero ABEF es un cuadrado.

Calcula el área del trapecio

24

Dado el trapecio ABCD y en su interior el rectángulo ABGE

Dado en cm AB=5 BC=5 GC=3

Calcula el área del rectángulo ABGE

20

Dado un ortoedro cuyo ancho es 8 cm y su altura 4 cm

Calcula la longitud del lado AC

$\sqrt{80}$ cm

Dado el cuadrado:

¿La suma de las dos diagonales son mayores que la suma de los 3 lados del cuadrado?

Falso

Dado el cuadrado:

¿La suma de las dos diagonales es mayor que la suma de los 3 lados del cuadrado?

Falso

Dado el cuadrado:

¿La suma de las dos diagonales es mayor que la suma de los 3 lados del cuadrado?

Falso

Dado el cuadrado:

¿La suma de las dos diagonales es mayor que la suma de los 3 lados del cuadrado?

Falso