Uso del Teorema de Pitágoras: El perímetro de un triángulo

Para hallar el perímetro de un triángulo, primero tendremos que encontrar todos sus lados.

Dados dos lados y sólo queda hallar el perímetro.

Podemos utilizar el Teorema de Pitágoras
$AB^2+BC^2=AC^2$
Reemplazamos todos los datos conocidos:

$AC^2=7^2+3^2$
$AC^2=49+9=58$
Extraemos la raíz:

$AC=\sqrt{58}$
Ahora que tenemos todos los lados, podemos sumarlos y así hallar el perímetro:
$\sqrt{58}+7+3=\sqrt{58}+10$

Calculamos el perímetro del triángulo:

$12+4\sqrt{5}=4+AC+BC$

Como queremos encontrar la hipotenusa, es decir BC, lo aislamos:

$12+4\sqrt{5}-4-AC=BC$

$BC=8+4\sqrt{5}-AC$

Encuentre AC usando el teorema de Pitágoras:

$AB^2+AC^2=BC^2$

$4^2+AC^2=(8+4\sqrt{5}-AC)^2$

$16+AC^2=(8+4\sqrt{5})^2-2\times AC(8+4\sqrt{5})+AC^2$

Reduciremos los dos$AC^2$

$16=8^2+2\times8\times4\sqrt{5}+(4\sqrt{5})^2-2\times8\times AC-2AC4\sqrt{5}$

$16=64+64\sqrt{5}+16\times5-16AC-8\sqrt{5}AC$

$16AC+8\sqrt{5}AC=64+64\sqrt{5}+16\times5-16$

$AC(16+8\sqrt{5})=128+64\sqrt{5}$

$AC=\frac{128+64\sqrt{5}}{16+8\sqrt{5}}=\frac{8(16+8\sqrt{5})}{16+8\sqrt{5}}$

Reducimos y obtenemos

$AC=8$

Ahora podemos reemplazar AC por el valor que encontramos para BC:

$BC=8+4\sqrt{5}-AC$

$BC=8+4\sqrt{5}-8=4\sqrt{5}$