Uso del Teorema de Pitágoras: En combinación con el área del triángulo

Dado el triángulo del dibujo

Dado que el área ABC es igual a 2X+16 cm².

Halla el valor de X.

El área del triángulo ABC es igual a:

$\frac{AD\times BC}{2}=2x+16$

Como se nos da el área del triángulo, colocaremos los datos que tenemos sobre el lado BC en la fórmula:

$\frac{AD\times(BD+DC)}{2}=2x+16$

$\frac{AD\times(x+5+3)}{2}=2x+16$

$\frac{AD\times(x+8)}{2}=2x+16$

Multiplicamos por 2 para eliminar el denominador:

$AD\times(x+8)=4x+32$

Dividido por: $(x+8)$

$AD=\frac{4x+32}{(x+8)}$

Escribimos el numerador de la fracción de otra forma:

$AD=\frac{4(x+8)}{(x+8)}$

Simplificamos a X + 8 y obtendremos:

$AD=4$

Ahora nos enfocamos en el triángulo ADC y por el teorema de Pitágoras hallaremos X:

$AD^2+DC^2=AC^2$

Reemplazamos los datos existentes:

$4^2+(x+5)^2=(\sqrt{65})^2$

$16+(x+5)^2\text{ }=65/-16$

$(x+5)^2=49/\sqrt{}$

$x+5=\sqrt{49}$

$x+5=7$

$x=7-5=2$

2 cm

Dado el dibujo:

área del triángulo ABC es 4X+16 cm².

Exprese la longitud AD mediante X.

El área del triángulo ABC es:

$\frac{AB\times AC}{2}=S$

En esta fórmula colocamos los datos que tenemos:

$\frac{AB\times(x+4)}{2}=4x+16$

$\frac{AB\times(x+4)}{2}=4(x+4)$

Observa que X más 4 en ambos lados se reduce y nos queda la ecuación:

$\frac{AB}{2}=4$

Multiplicamos por 2 y obtenemos:

$AB=4\times2=8$

Ahora observemos el triángulo ABC y podemos encontrar el lado BC usando el Teorema de Pitágoras:

$AB^2+AC^2=BC^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$8^2+(x+4)^2=BC^2$

Extraemos la raíz:

$BC=\sqrt{64+x^2+2\times4\times x+4^2}=\sqrt{x^2+8x+64+8}=\sqrt{x^2+8x+72}$

Ahora podemos calcular AD poniendo la fórmula para calcular el área del triángulo ABC:

$S_{\text{ABC}}=\frac{AD\times BC}{2}$

Reemplazamos los datos:

$4x+16=\frac{AD\times\sqrt{x^2+8x+80}}{2}$

$AD=\frac{(4x+16)\times2}{\sqrt{x^2+8x+80}}=\frac{8x+32}{\sqrt{x^2+8x+80}}$

$\frac{8x+32}{\sqrt{x^2+8x+80}}$

El área del triángulo ABC es 30 cm²

¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

13 cm

Dados los triángulos en la figura

Los triángulos son semejantes y la razón es 1:2

DEF el pequeño entre ellos

Halla el área del triángulo DEF

4 cm²

Expresa el área del triángulo ABC mediante X

$\frac{X+9}{2}\sqrt{3X^2-2X-1}$