Uso del Teorema de Pitágoras: Uso del Teorema de Pitágoras

En el rectángulo ABCD dado:

$BD=25,BC=7$

Calcula el área del rectángulo.

Para hallar el lado DC usaremos el teorema de Pitágoras:

$(BC)^2+(DC)^2=(DB)^2$

Ahora reemplazaremos en el teorema los datos existentes:

$7^2+(DC)^2=25^2$

$49+DC^2=625$

$DC^2=625-49=576$

Extraemos la raíz:

$DC=\sqrt{576}=24$

168

Dado el trapecio DECB rectángulo y parte del triángulo ABC.

Dado en cm AB=6 AC=10

DE divide en dos a AB y AC respectivamente

Calcula el área del trapecio DECB.

Dado que DE cruza AB y AC, es decir:

$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6=3$

$AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times10=5$

Ahora vamos a observar el triángulo ADE, donde ya hemos calculado 2 de sus lados.

Ahora podemos hallar el tercer lado DE usando el teorema de Pitágoras:

$AD^2+DE^2=AE^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$3^2+DE^2=5^2$

$9+DE^2=25$

$DE^2=25-9$

$DE^2=16$

Extraemos la raíz:

$DE=\sqrt{16}=4$

Ahora observemos el triángulo ABC en el que se nos dan dos de los lados,

Ahora podemos hallar el tercer lado BC usando el teorema de Pitágoras:

$AB^2+BC^2=AC^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$6^2+BC^2=10^2$

$36+BC^2=100$

$BC^2=100-36$

$BC^2=64$

Extraemos la raíz:

$BC=\sqrt{64}=8$

Ahora tenemos todos los datos para calcular el área del trapecio DECB mediante la fórmula:

(base + base) multiplicado por la altura dividido 2:

Tengamos en cuenta que la altura en el trapecio es DB

$S=\frac{(4+8)}{2}\times3$

$S=\frac{12\times3}{2}=\frac{36}{2}=18$

18

Dado el triángulo del dibujo

Dado que el área ABC es igual a 2X+16 cm².

Halla el valor de X.

El área del triángulo ABC es igual a:

$\frac{AD\times BC}{2}=2x+16$

Como se nos da el área del triángulo, colocaremos los datos que tenemos sobre el lado BC en la fórmula:

$\frac{AD\times(BD+DC)}{2}=2x+16$

$\frac{AD\times(x+5+3)}{2}=2x+16$

$\frac{AD\times(x+8)}{2}=2x+16$

Multiplicamos por 2 para eliminar el denominador:

$AD\times(x+8)=4x+32$

Dividido por: $(x+8)$

$AD=\frac{4x+32}{(x+8)}$

Escribimos el numerador de la fracción de otra forma:

$AD=\frac{4(x+8)}{(x+8)}$

Simplificamos a X + 8 y obtendremos:

$AD=4$

Ahora nos enfocamos en el triángulo ADC y por el teorema de Pitágoras hallaremos X:

$AD^2+DC^2=AC^2$

Reemplazamos los datos existentes:

$4^2+(x+5)^2=(\sqrt{65})^2$

$16+(x+5)^2\text{ }=65/-16$

$(x+5)^2=49/\sqrt{}$

$x+5=\sqrt{49}$

$x+5=7$

$x=7-5=2$

2 cm

Dado el rombo del dibujo:

¿Cuál es el área?

Recuerda que hay dos opciones para calcular el área de un rombo:

Diagonal por diagonal dividido 2.

Lado por la altura del lado.

En la pregunta se nos da solo la mitad de la diagonal y se nos da el lado, lo que significa que no podemos usar ninguna de las fórmulas.

Necesitamos encontrar más datos. Encontremos la segunda diagonal:

Recordemos que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí, lo que significa que forman un ángulo de 90 grados.

Por lo tanto, todos los triángulos de un rombo son rectángulos.

Ahora podemos centrarnos en el triángulo donde están dados el lado y la altura, y calcularemos el tercer lado por el teorema de Pitágoras:

$a²+b²=c²$Reemplazamos los datos:

$3^2+x^2=5^2$$9+x^2=25$$x^2=25-9=16$$x=\sqrt{16}=4$Ahora que hemos hallado la mitad de la segunda diagonal, podemos calcular el área mediante la diagonal por diagonal:

Dado que las diagonales en un rombo son perpendiculares y se cruzan entre sí, son iguales. Por lo tanto nuestras diagonales son iguales:

$3+3=6$$4+4=8$Por lo tanto, el área del rombo es:

$\frac{6\times8}{2}=\frac{48}{2}=24$

24

Dado ABCD paralelogramo

CE es la altura del lado AB

CB=5
AE=7
EB=2

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Para hallar el área,

primero, se debe hallar la altura del paralelogramo.

Para concluir, observemos el triángulo EBC,

debido a que sabemos que es un triángulo rectángulo (porque es la altura del paralelogramo)

y se puede utilizar el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

En este caso: $EB^2+EC^2=BC^2$

Colocamos la información dada: $2^2+EC^2=5^2$

Aislamos la variable:$EC^2=5^2+2^2$

Resolvemos:$EC^2=25-4=21$

$EC=\sqrt{21}$

Ahora solo queda calcular el área.

Es importante recordar que para ello se debe utilizar la longitud de cada lado.
Es decir AE+EB=2+7=9

$\sqrt{21}\times9=41.24$

41.24

Dado el triángulo ABC isósceles,
y en su interior se traza EF, paralelo a CB:

AF=5 AB=17
AG=3 AD=8
AD la altura en el triángulo

¿Cuál es el área del trapecio EFBC?

Para hallar el área del trapecio, debes recordar su fórmula:$\frac{(base+base)}{2}+\text{altura}$Nos centraremos en hallar las bases.

Para hallar GF usamos el teorema de Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$ En el triángulo AFG

Reemplazamos:

$3^2+GF^2=5^2$

Aislamos a GF y resolvemos:

$9+GF^2=25$

$GF^2=25-9=16$

$GF=4$

Realizaremos el mismo proceso con el lado DB en el triángulo ABD:

$8^2+DB^2=17^2$

$64+DB^2=289$

$DB^2=289-64=225$

$DB=15$

A partir de aquí hay dos formas de finalizar el ejercicio:

1. Calcular el área del trapecio GFBD, demostrar que es igual al trapecio EGDC y sumarlos.

2. Usar los datos que hemos revelado hasta ahora para encontrar las partes del trapecio EFBC y resolver.

Comencemos hallando la altura de GD:

$GD=AD-AG=8-3=5$

Ahora revelamos que EF y CB:

$GF=GE=4$

$DB=DC=15$

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales entonces:

$EF=GF\times2=4\times2=8$

$CB=DB\times2=15\times2=30$

Reemplazamos los datos en la fórmula del trapecio:

$\frac{8+30}{2}\times5=\frac{38}{2}\times5=19\times5=95$

95

Dado el paralelogramo ABCD,

y dentro un rectángulo AEFC cuyo perímetro es 24.

AE=8 BC=5

¿Cuál es el área del paralelogramo?

En el primer paso debemos hallar la longitud de EC, que identificaremos con una X.

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados (AE+EC+CF+FA),

Como en el rectángulo los lados opuestos son iguales, la fórmula también se puede escribir así: 2AE=2EC.

Reemplazamos los datos conocidos:

$2\times8+2X=24$

$16+2X=24$

Aislamos a X:

$2X=8$

y dividimos por 2:

$X=4$

Ahora podemos usar la fórmula pitagórica para hallar EB.

(Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$)

$EB^2+4^2=5^2$

$EB^2+16=25$

Aislamos la incógnita

$EB^2=9$

Extraemos la raíz de la ecuación.

$EB=3$

El área de un paralelogramo es la altura multiplicada por el lado al que desciende la altura, es decir$AB\times EC$.

$AB=\text{ AE}+EB$

$AB=8+3=11$

Y por lo tanto aplicaremos la fórmula del área:

$11\times4=44$

44

Dado el triángulo ABC isósceles,

El lado AD es la altura en el triángulo ABC

y en su interior se traza a EF:

AF=5 AB=17
AG=3 AD=8

¿Cuál es el perímetro del trapecio EFBC?

Para hallar el perímetro del trapecio se debe sumar todos sus lados:

Nos centraremos en hallar las bases.

Para hallar a GF usamos el teorema de Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$en el triángulo AFG

Reemplazamos

$3^2+GF^2=5^2$

Aislamos a GF y resolvemos:

$9+GF^2=25$

$GF^2=25-9=16$

$GF=4$

Realizamos el mismo proceso con el lado DB del triángulo ABD:

$8^2+DB^2=17^2$

$64+DB^2=289$

$DB^2=289-64=225$

$DB=15$

Comenzamos hallando a FB:

$FB=AB-AF=17-5=12$

Ahora revelamos a EF y CB:

$GF=GE=4$

$DB=DC=15$

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales entonces:

$EF=GF\times2=4\times2=8$

$CB=DB\times2=15\times2=30$

Todo lo que falta es calcular:

$30+8+12\times2=30+8+24=62$

62

¿Cuál es el área del triángulo del dibujo?

Existen dos maneras de resolver el ejercicio:

Es posible bajar una altura desde uno de los vértices, como sabemos

En un triángulo equilátero, la altura interseca a la base,

Esto crea un triángulo rectángulo cuyos dos lados son 6 y 3,

Usando el teorema de Pitágoras$A^2+B^2=C^2$

Podemos hallar la longitud del lado que falta.

$3^2+X^2=6^2$

Convertimos la fórmula

$6^2-3^2=X^2$

$36-9=27$

Por lo tanto, la altura del triángulo es igual a:$\sqrt{27}$

A partir de aquí calculamos con la fórmula habitual del área de un triángulo.

$\frac{6\times\sqrt{27}}{2}=15.588$

La opción B para la solución es mediante la fórmula del área de un triángulo equilátero:

$S=\frac{\sqrt{3}\times X^2}{4}$

Donde X es uno de los lados.

$\frac{\sqrt{3}\times6^2}{4}=\frac{62.353}{4}=15.588$

15.588

Dados el rectángulo y el triángulo isósceles y rectángulo:

¿Cuál es el área del rectángulo?

Para hallar el lado que falta, usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo superior.

Como el triángulo es isósceles, sabemos que la longitud de ambos lados es 7.

Por eso colocamos Pitágoras$A^2+B^2=C^2$$7^2+7^2=49+49=98$

Por lo tanto el área del lado faltante es:$\sqrt{98}$

El área de un rectángulo es la multiplicación de los lados, por lo tanto:

$\sqrt{98}\times10=98.99\approx99$

$\approx99$

Dado que el triángulo ABC es isósceles, halla a AE

$8\frac{1}{3}$

Dado el rectángulo ABCD

Es sabido que:

AB=4

AD=3

¿Cuál es la longitud de la diagonal BD?

$5$

Dado el rectángulo ABCD

Es sabido que:

BC=5

AB=12

Calcula la diagonal del rectángulo

$13$

ABCD es un cuadrado cuyo largo del lado es 8 cm

EB=10 lado en paralelogramo EBFC

¿Cuál es el área del paralelogramo EBFC?

112 cm²

Dado ABCD deltoide AB=AC DC=BD

Las diagonales del deltoide se cortan en el punto O

Dado en cm AO=12 OD=4

El área del deltoide es igual a 48 cm²

Calcula el lado CD

5 cm

Dado el deltoide cóncavo cuya área es 9 cm²,
¿Cuál es el valor de X?

$$

1 cm

Dado: el trapecio ABCD es parte del rectángulo.

Dado en cm DC=12 BK=3 altura del trapecio H=4

Calcula el área del trapecio

36

Dado el trapecio ABCD isósceles

Dado en cm DF=2 AD=$\sqrt{20}$

Dado que el cuadrilátero ABEF es un cuadrado.

Calcula el área del trapecio

24

Dado el trapecio ABCD y en su interior el rectángulo ABGE

Dado en cm AB=5 BC=5 GC=3

Calcula el área del rectángulo ABGE

20

Dado un ortoedro cuyo ancho es 8 cm y su altura 4 cm

Calcula la longitud del lado AC

$\sqrt{80}$ cm