Logaritmos

Valores constantes:

Se puede determinar automáticamente que:

• $log_a\left(1\right)=0$
• $log_a\left(a\right)=1$

Operaciones aritméticas básicas

Operaciones de multiplicación, división, resta y suma entre logaritmos:

• $log_aMN=log_aM+log_aN$
• $log_aM/N=log_aM-log_aN$
• $Log_a\left(M\right)\times Log_n\left(D\right)=Log_n\left(M\right)\times Log_a\left(D\right)$
• $Log_aM^n=nLog_aM$

Cambiar la base del logaritmo:

Se debe tener en cuenta que en las calculadoras el valor predeterminado es un logaritmo basado en $10$. Pero a veces queremos calcular un algoritmo en una base diferente a $10$. Por ejemplo, ¿qué pasa si queremos saber a qué potencia tenemos que elevar a $2$ para obtener el número $4$? (La respuesta es, por supuesto, $2$, porque $2$ elevado a $2$ es igual a $4$). Para realizar este cambio se debe utilizar el cambio de base del algoritmo. Hay dos maneras de hacer esto:

• $log_b\left(x\right)=log_c\left(x\right)/log_c\left(b\right)$
• $log_b\left(c\right)=1/log_c\left(b\right)$

Derivada del logaritmo:

$fx=log_b\left(x\right)⇒f^{\prime}x=1/xln(b)$

Integral del logaritmo:

$∫log_b\left(x\right)dx=x\times log_b\left(x\right)-1/ln\left(b\right)+C$

Existe un método principal para calcular logaritmos en la escuela secundaria, basado en la definición del término log. Como se mencionó, log es en realidad una operación inversa a una potencia normal. Por lo tanto, si queremos averiguar qué es $\log_39$ tendremos que preguntarnos, "¿cuánto en la potencia de tres que valdría nueve?" Y descubriremos que la respuesta es dos. En otras palabras, podemos marcar la respuesta con una $X$ y crear una ecuación:

$\log_39=X$

Podemos decir que: $3^X=9$

Y crea una ecuación exponencial simple para la solución.

En ejercicios más complicados, se deben usar las leyes logarítmicas anteriores para simplificar la solución.

Por ejemplo: tome el logaritmo

$log_X125=3$

De acuerdo con la Ley Logarítmica podemos decir que:

$X^3=125$ Y así podemos saber que $X=5$

Con un poco de práctica, verá que resolver logaritmos no es tan aterrador ni amenazante como parece, y como todo en matemáticas, ¡la práctica y la comprensión son el nombre del juego!

Primero, para entender qué son los logaritmos, uno debe entender qué es una función exponencial. Una función exponencial es una de las funciones más útiles del lenguaje matemático y expresa interesantes procesos de crecimiento y decrecimiento. Debido a la gran importancia de la función exponencial es uno de los temas importantes en el estudio de las matemáticas. Una función exponencial es en realidad una función de tipo $a ^ X$, donde a es la base de la función.

Una función exponencial conocida es una función basada en el número e, que es una constante matemática igual al valor $2.71828$ . Esta función es especial por varias razones, una de las cuales es que su derivada es igual a sí misma.

Una función logarítmica es lo opuesto a la función exponencial, y de hecho responde a la pregunta: "¿A qué potencia necesitamos elevar un número dado para obtener otro número dado?", por ejemplo, si quiero saber a qué potencia se necesita elevar a $10$ para obtener el número $100$, en la calculadora: log$100$. El resultado será $2$, ya que $10$ elevado a $2$ es $100$.

Hasta el momento solo hemos visto lo que es el logaritmo común, pero hay otro tipo de logaritmo, el cuál se le conoce como logaritmo natural, y este logaritmo es la función inversa de la exponencial. Es decir el logaritmo natural tiene una base $e$, esta base es un numero irracional el cual es una constante y su valor es:

$e=2.71828182\ldots$

Y el logaritmo natural, lo podemos representar como:

$\ln x=y$

Propiedades del logaritmo natural

• $\ln1=0$

Esto aunque el logaritmo no tiene base como tal se sobre entiende que su base es $e$, entonces debemos de elevar a cero a $e$ para que nos de como resultado $1$.

$e^0=1$

• $\ln e=1$

Esto lo podemos ver como: $e^1=e$

• $\ln e^x=x$
• $e^{\ln x}=x$

Estas dos propiedades por ser operaciones inversas.

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En el blog de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

Consigna

$\log7x+\log(x+1)-\log7=\log2x-\log x$

¿Cuánto vale $X$ ?

Solución

Domino de definición

$x>0$

$x+1>0$

$x>-1$

$\log7x+\log\left(x+1\right)-\log7=\log2x-\log x$

$\log\frac{7x\cdot\left(x+1\right)}{7}=\log\frac{2x}{x}$

Reducimos por: $7$ y por $X$

$x\left(x+1\right)=2$

$x^2+x-2=0$

$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$

$x+2=0$

$x=-2$

No dominio de definición $x>0$

$x-1=0$

$x=1$

Dominio de definición

Respuesta

$1$

Consigna

$3\log_49+8\log_4\frac{1}{3}=$

Solución

En donde:

$3\log_49=\log_49^3=\log_4729$

y

$8\log_4\frac{1}{3}=\log_4\left(\frac{1}{3}\right)^8=$

$\log_4\frac{1}{3^8}=\log_4\frac{1}{6561}$

Por lo tanto

$3\log_49+8\log_4\frac{1}{3}=$

$\log_4729+\log_4\frac{1}{6561}$

$\log_ax+\log_ay=\log_axy$

$\left(729\cdot\frac{1}{6561}\right)=\log_4\frac{1}{9}$

$\log_49^{-1}=-\log_49$

Respuesta

$-\log_49$

Consigna

$2\log_82+\log_83=$

Solución

$2\log_82=\log_82^2=\log_84$

$2\log_82+\log_83=\log_84+\log_83=$

$\log_84\cdot3=\log_812$

Respuesta

$\log_812$

Consigna

$\frac{1}{2}\log_24\times\log_38+\log_39\times\log_37=$

Solución

Descomponemos en partes

$\log_24=x$

$2^x=4$

$x=2$

$\log_39=x$

$3^x=9$

$x=2$

Reemplazamos en la ecuación

$\frac{1}{2}\cdot2\log_38+2\log_37=$

$1\cdot\log_38+2\log_37=$

$\log_38+\log_37^2=$

$\log_38+\log_349=$

$\log_3\left(8\cdot49\right)=\log_3392$

Respuesta

$\log_3392$

Consigna

$\frac{1}{4}\cdot\log_61296\cdot\log_6\frac{1}{2}-\log_63=$

Solución

Descomponemos en partes

$\log_61296=x$

$6^x=1296$

$x=4$

$\frac{1}{4}\cdot4\cdot\log_6\frac{1}{2}-\log_63=$

$\log_6\frac{1}{2}-\log_63=$

$\log_6\left(\frac{1}{2}:3\right)=\log_6\frac{1}{6}$

$\log_6\frac{1}{6}=x$

$6^x=\frac{1}{6}$

$x=-1$

Respuesta

$-1$

Consigna

$\log_7x^4-\log_72x^2=3$

Halla a $X$

Solución

$\log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}$

$\log_7x^4-\log_72x^2=$

$\log_7\frac{x^4}{2x^2}=3$

$7^3=\frac{x^2}{2}$

Multiplicamos por: $2$

$2\cdot7^3=x^2$

Extraemos la raíz

$x=\sqrt{680}=7\sqrt{14}$

$x=-\sqrt{680}=-7\sqrt{14}$

Respuesta

$-7\sqrt{14\text{ }}\text{ , }7\sqrt{14}$

¿Cuáles son los elementos de un logaritmo?

La función logaritmo tiene cuatro elementos:

$\log_ax=b$

En donde:

$\log$ es su símbolo

$x$ es el argumento del logaritmo

$a$ es la base del logaritmo

$b$ es el resultado del logaritmo

Se lee: “El Logaritmo en base $a$ de $x$ es igual a $b$”

¿Cuál es la relación entre la función exponencial y la función logarítmica y algunos ejemplos?

Un logaritmo es la operación inversa de la función exponencial, hay que recordar que todas las operaciones tienen una operación inversa, en este caso toda función logarítmica la podemos relacionar con una exponencial.

Ejemplo 1:

Calcular

$\log_416=$

Debemos de buscar un número el cual deberá ser el exponente que debe de tener la base $4$ para obtener el argumento del logaritmo que es $16$, en este caso el resultado será $2$, ya que

$4^2=16$

Resultado

$2$

Ejemplo 2:

Calcular

$\log_8512=$

Ahora debemos de buscar el exponente que debe de tener la base $8$ para obtener como resultado el argumento del logaritmo, en este caso el resultado es $3$, porque:

$8^3=512$

Resultado

$3$

De estos ejemplos podemos concluir la relación muy estrecha que tiene la función logaritmo y la función exponencial.

¿Para qué sirve un logaritmo?

Un logaritmo sirve para determinar cuál será el número que debe tener como potencia la base del logaritmo para poder obtener el argumento.

¿Qué es un logaritmo y ejemplos?

Como bien lo dijimos ya, un logaritmo es la operación inversa de una exponencial. Por lo tanto la función logaritmo es aquella función donde se debe de calcular el número del exponente que debe de tener la base para que nos dé, el número del argumento, aquí presentaremos algunos ejemplos:

Ejemplos:

• $\log_72401=4$

Ya que, $7^4=2401$

• $\log_232=5$

Como $2^5=32$

• $\log_9729=3$

Esto porque: $9^3=729$

• $\log_{}100=2$

En este último ejemplo el logaritmo no tiene la base explicita, pero cuando un logaritmo no tiene como tal a la base, nosotros debemos de dar por hecho que es un logaritmo base $10$, por lo tanto la respuesta a este logaritmo es $2$, ya que $10^2=100$.

¿Cuáles son las leyes de logaritmos, ejemplos?

Veamos algunas de las leyes de los logaritmos:

• $\log_a1=0$
• $\log_aa=1$
• $a^{\log_ax}=x$, esto por ser funciones inversas.
• $\log_am+\log_an=\log_a\left(m\times n\right)$
• $\log_am-\log_an=\log_a\left(\frac{m}{n}\right)$
• $\log_ax^r=r\log_ax$

Cabe mencionar que no existen logaritmos de números negativos, ni de bases negativas y tampoco existe el logaritmo de cero.

Ejemplos donde podemos aplicar estas leyes

Ejemplo 1:

$\log_88=1$

Y es que esta ley es demasiado obvia ya que $8^1=8$, por lo tanto el exponente debe ser $1$, para poder obtener el argumento de la función logaritmo. Y es por eso que la ley $2$ que se tiene arriba significa que si se tiene un logaritmo con misma base y argumento siempre el resultado será $1$.

Ejemplo 2:

Encontrar el valor de $x$, en la siguiente ecuación logarítmica

$\log_3x+\log_327=5$

Podemos usar la suma de logaritmos y obtenemos:

$\log_327x=5$

Usamos la tercera ley mencionada arriba:

$3^{\log_327x}=3^5$

Tenemos:

$27x=243$

De aquí despejamos $x$

$x=\frac{243}{27}=9$

Por lo tanto el valor de $x=9$

Y podemos hacer la comprobación:

$\log_3x+\log_327=5$, aquí sustituimos el valor que hemos encontrado de $x=9$

$\log_39+\log_327=5$ y como bien sabemos:

$\log_39=2$ y

$\log_327=3$, entonces;

$\log_3x+\log_327=2+3=5$

Resultado

$x=9$

La otra manera de resolver este ejercicio es la siguiente:

$\log_3x+\log_327=5$

De aquí podemos calcular el segundo logaritmo:

$\log_327=3$, entonces sustituimos este valor

$\left(\log_3x\right)+3=5$

De aquí despejamos al logaritmo:

$\log_3x=5-3$

$\log_3x=2$

Entonces aquí ya tenemos el exponente que debe tener la base $3$, su exponente debe ser $2$, por lo tanto $3^2=9$, y de aquí obtenemos el argumento del algoritmo, es decir el valor de $x$

O usando la ley $3$ tenemos

$3^{\log_3x}=3^2$

$x=9$

Resultado

$x=9$

¿Cuál es la diferencia entre el logaritmo común y un logaritmo natural?

La diferencia en si solo es la base, ya que el logaritmo común tiene base $10$: $\log_{10}$ y el logaritmo natural tiene base $e$

$\ln_e$

Aunque en realidad los dos logaritmos no tienen implicitas sus bases, se debe de sobre entender cada una de las bases.