Vértice de la parábola

En este artículo estudiaremos acerca del vértice de la parábola y descubriremos modos fáciles para hallarlo sin demasiado esfuerzo.
El vértice de la parábola señala el punto más alto de una parábola de cara triste y, el punto más bajo de una parábola de cara feliz.
Recordemos la ecuación de la parábola:
$y=ax^2+bx+c$

Recordatorio: 
$a$  positivo –> parábola de cara feliz
$a$  negativo –> parábola de cara triste  

La anotación del vértice de la parábola se ve del siguiente modo: $(Y~vértice, X~vértice)$

Para encontrar el vértice de la parábola deberemos despejar el valor de su $X$ y el de su $Y$.

Para hallar el valor de la $X$ del vértice:
Haremos uso de la siguiente fórmula: $x=\frac{(-b)}{2a}$

Para hallar el valor de la $Y$ del vértice:
Colocaremos el valor de la $X$ que hemos hallado en la ecuación de la parábola original y obtendremos la $Y$ del vértice.

He aquí la siguiente ecuación de la parábola –>
$y=5x^2+20x+4$
Encuentra el vértice de la parábola.

Solución:
Para encontrar la $X$ del vértice colocaremos en la fórmula $x=\frac{(-b)}{2a}$
$b=2$
$a=5$
Obtendremos:
$x=\frac{-20}{2 \times 5}$
$x=\frac{-20}{10}$
$x=-2$

Para encontrar la $Y$ del vértice colocaremos la $X$ del vértice que hemos hallado: $-2$
en la ecuación de la parábola original.
Obtendremos:
$y=5 \times (-2)^2+20 \times (-2)+4$
$y=5 \times 4-40+4$
$y=20-40+4$
$y=-16$

El vértice de la parábola es $(-2,-16)$

Observa : El hecho de haber obtenido un vértice de parábola con números negativos no quiere decir que la parábola sea una parábola de carita triste.

Para hallar el vértice de la parábola de este modo deberemos, primeramente, encontrar los puntos de intersección de la parábola con el eje $X$.
Para hacerlo, colocaremos $Y=0$ en la ecuación de la parábola original, solucionaremos la ecuación cuadrática con la ayuda de la fórmula cuadrática y obtendremos dos valores de $X$.
Recordatorio: La fórmula cuadrática para solucionar una ecuación cuadrática es: $x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

Luego, hallaremos el punto que se encuentra exactamente entre los dos valores de las $X$ que obtuvimos y ese será la $X$ del vértice.
Para hallar el punto medio calcularemos la media de las $X$.

Luego de haber encontrado la $X$ del vértice, la colocaremos en la ecuación de la parábola original y, obtendremos la $Y$ del vértice.

He aquí la siguiente ecuación de parábola ->
$f(x)=x^2-8x+12$
Encuentra el vértice de la parábola.

Primer paso: Encontrar los puntos de intersección con el eje $X$

Colocaremos $Y=0$
Obtendremos:
$x^2-8x+12=0$
Resolveremos la ecuación cuadrática colocando los datos en la fórmula cuadrática y obtendremos:

$x_{1,2} = {-8 \pm \sqrt{8^2-4 \times 1 \times 12} \over 2 \times 1}$

$x_{1,2} = {-8 \pm 4 \over 2}$

$X_1=6$
$X_2=2$

Segundo paso: Calculando la media hallaremos el punto que se encuentra exactamente entre los dos puntos de intersección –> $X$ del vértice.

Obtendremos:
$X={(6+2)\over2}=4$

Tercer paso: Colocaremos la $X$ del vértice que obtuvimos en la ecuación de la parábola original y hallaremos la $Y$ del vértice.

Obtendremos:

$Y=4^2-8 \times 4+12$
$Y=-4$

El vértice de la parábola es:
$(4,-4)$

Como puedes ver, el segundo modo parece ser bastante más largo.
Sin embargo, si ya tienes $2$ puntos de intersección de la parábola con el eje $X$ conviene utilizar este modo, hallar el punto que se encuentra exactamente entre ellos calculando la media y seguir buscando la $Y$ del vértice colocando los datos en la ecuación original.