Conjuntos de positividad y negatividad de la función cuadrática

¡Presta atención!
No confundas los intervalos de crecimiento y de decrecimiento con los conjuntos de positividad y negatividad.
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento describen cuándo la función crece o decrece, independientemente del lugar que ocupe, encima o debajo del eje $X$.
En cambio, los conjuntos de positividad y negatividad describen cuándo la función es positiva - encima del eje $X$ o negativa - debajo del eje $X$ , sin importar si la función es creciente o decreciente.

Conjuntos de positividad y negatividad de la función cuadrática derivada del vértice - Ampliación

Para hallar los conjuntos de positividad y de negatividad de una parábola - La función cuadrática, deberemos trazar su croquis.

Para trazar el croquis deberemos saber cuál es el vértice de la parábola y cuáles son sus puntos de intersección con los ejes.

De este modo sabremos en qué valores de $X$ tendremos Y positiva - conjunto de positividad

y en qué valores de $X$ tendremos $Y$ negativa - conjunto de negatividad

Nos enfocaremos en la derivación de la función y su igualación a $0$ para obtener $X$ del vértice.

Cuando la parábola está solo en un conjunto

Cuando la parábola está solo en un conjunto quiere decir que es totalmente positiva o totalmente negativa.

Es decir, es positiva en todo el eje $X$ o negativa en todo el eje $X$ .

Entenderemos mejor lo que esto significa viéndolo en un ejemplo.

Teniendo la parábola:

$Y=2X2+4x+4$

Halla el conjunto de positividad y el de negatividad de la función.

Solución:

Para hallar el conjunto de positividad y de negatividad de la función deberemos dibujar un croquis de la función del plano cartesiano.

Primeramente, derivaremos la función y la igualaremos a $0$ para obtener la $X$ del vértice:

$Y'=4X+4$

$4x+4=0$

$4x=-4$

$X=-1$

Ahora hallemos la $Y$ del vértice.

Colocaremos la $X$ del vértice que encontramos en la función original y obtendremos:

$Y=2 \times (-1)2+4 \times (-1)+4$

$Y=2-4+4$

$Y=2$

Descubrimos que el vértice de la parábola es

$(1,2-)$

Ahora, para entender mejor cómo se ve la función, examinaremos los puntos de intersección con el eje $X$ .

Igualaremos la función a $0$ :

$2X2+4x+4=0$

Esta ecuación no tiene solución, es decir, no tiene puntos de intersección con el eje $X$ .

Tracemos el croquis:

veamos que el coeficiente de $X2$ es positivo

por lo tanto, la parábola tiene carita feliz.

Observa, la función es positiva (tiene valores positivos de $Y$ para cada $X$

Por lo tanto, es positiva en todo el eje $X$ y no tiene negatividad. O sea, nunca es negativa.

Cuando el vértice es tangente al eje

En las funciones cuyos vértices son tangentes al eje $X$ y la $Y$ del vértice es $0$ ,

la función podrá ser totalmente positiva o totalmente negativa.

Si la parábola tiene carita feliz - será totalmente positiva

Si la parábola tiene carita triste - será totalmente negativa

Veamos un ejemplo:

Halla el conjunto de positividad y el de negatividad de la siguiente función:

$Y=X2+2X+1$

Solución:

Para hallar el conjunto de positividad y de negatividad de la función deberemos dibujar un croquis de la función del plano cartesiano.

Primeramente, derivaremos la función y la igualaremos a $0$ para obtener la $X$ del vértice:

$Y'=2X+2$

$2X+2=0$

$2X=-2$

$X=-1$

Hemos hallado que la $X$ del vértice es
$X=-1$

Ahora lo colocaremos en la función original para encontrar la $Y$ del vértice.

Obtendremos:

$Y=(-1)2+2 \times (-1)+1$

$Y=1-2+1$

$Y=0$

Obtuvimos que el vértice de la parábola es $(-1,0)$

De esto podremos deducir que se trata del único punto de intersección con el eje $X$ .

Recordemos que es una parábola de cara feliz y dibujemos un croquis:

Podemos ver que toda la función es positiva - hay una $Y$ positiva para cada $X$ .

No hay negatividad, nunca es negativa.

Nota:

Observa que, en caso de que la función tuviera carita triste, sería toda negativa.

Cuando la función está en ambos conjuntos

Cuando la función está en ambos conjuntos se deben hallar la $X$ del vértice y también los puntos de intersección de la función con el eje $X$ .

De este modo podremos saber exactamente en qué intervalos la función es positiva y en cuáles negativa.

Veamos un ejemplo:

Teniendo la parábola:

$Y=x2-6X+5$

Halla sus conjuntos de positividad y de negatividad.

Solución:

Para hallar el conjunto de positividad y de negatividad de la función deberemos dibujar un croquis de la función del plano cartesiano.

Primeramente, derivaremos la función y la igualaremos a $0$ para obtener la $X$ del vértice:

$Y'=2X-6$

$2X-6=0$

$2X=6$

$X=3$

Ahora colocaremos $3= X$ del vértice que hemos obtenido en la función original para encontrar la $Y$ del vértice.

Obtendremos:

$Y=32-6 \times3+5$

$Y=9-18ּּ+5$

$Y=-4$

Nos ha dado que el vértice de la parábola es $(4- , 3)$

Ahora hallaremos los puntos de intersección de la función con el eje $X$:

Igualaremos la función a 0 y obtendremos:

$x2-6X+5=0$

$X=1~, X=5$

Ahora trazaremos un croquis:

Recordemos que es una parábola de cara feliz

Se puede deducir de la ilustración que la función es positiva (tiene valores positivos de Y) en los intervalos:

$X>5$

y también

$X<1$

Se puede deducir de la ilustración que la función es negativa (tiene valores negativos de Y) en el intervalo:

$1<X<5$