Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función

Si la línea de la gráfica comienza abajo y, a medida que avanza hacia la derecha va subiendo, eso quiere decir que la función es creciente. Es decir, que la función crece cuando los valores de $Y$ van aumentando a medida que los de $X$ crecen (o sea, avanzan de izquierda a derecha)

Si la línea de la gráfica comienza arriba y, a medida que avanza hacia la derecha va bajando, eso quiere decir que la función es decreciente. Es decir, que la función disminuye cuando los valores de $Y$ van bajando a medida que los de $X$ crecen (o sea, avanzan de izquierda a derecha)

Si la línea de la gráfica comienza en cierto punto sobre el eje $Y$, y a medida que avanza hacia la derecha se mantiene constante a la misma altura, es decir en el mismo punto sobre el eje $Y$, eso quiere decir que se trata de una función constante. Es decir, que la función es constante cuando los valores de $Y$ conservan su lugar y se mantienen fijos a medida que los de $X$ crecen (o sea, avanzan de izquierda a derecha)

Para identificar los intervalos donde la función es creciente buscaremos en la gráfica el punto donde la función comienza a subir.

Marcaremos el valor sobre el eje $X$. En nuestro caso es $-5$. Luego buscaremos sobre el eje $X$ el punto donde la función deja de subir. En nuestro caso es $7$. Por lo tanto, el intervalo de crecimiento de la función será: 

$-5<X<7$

Lo ilustraremos con una gráfica sencilla: 

En la gráfica se puede ver que los intervalos de crecimiento de la función son $X<-3$ (valores $X$ inferiores a $-3$) y para los valores de $X$ que se encuentran entre $0$ y $3$. Es decir, en estos intervalos los valores de la $X$ y los de la $Y$ crecen a la par. 

Además, se desprende de la gráfica que, los intervalos de decrecimiento de la función son para los valores de $X$ que se encuentran entre el $-3$ y el $0$ y para $X>3$ . Es decir, en estos intervalos los valores de la $X$ crecen y los de la $Y$ disminuyen al mismo tiempo.  

Ejercicio

Observa que, en la gráfica también se pueden ver los intervalos de decrecimiento de la función. ¿Sabes cuáles son?

Respuesta

$-3<X<0$

$3<X$

Para identificar los intervalos donde la función es decreciente buscaremos en la gráfica el punto donde la función comienza a bajar.

Marcaremos el valor sobre el eje $X$. En nuestro caso es $-7$. Luego buscaremos sobre el eje $X$ el punto donde la función deja de bajar. En nuestro caso es $5$. Por consiguiente, el intervalo de decrecimiento de la función será: 

$-7<X<5$

Ejercicio

Observa que, en la gráfica también se pueden ver los intervalos de crecimiento de la función. ¿Sabes cuáles son?

Respuesta

$-10<X<-7$

$5<X<10$

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Consigna

Halla el área creciente de la función

$f(x)=6x^2-12$

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que $a=6$

Por lo tanto $a>0$ y la parábola es el mínimo

En el segundo paso hallamos a $x$ del vértice

según los datos sabemos que:

$a=6,b=0,c=-12$

Reemplazamos los datos en la fórmula

$x=\frac{-b}{2\cdot a}$

$x=\frac{-0}{2\cdot6}$

$x=\frac{0}{12}$

$x=0$

Por lo tanto

$0<x$ Creciente

$x<0$ Decreciente

Respuesta

$0<x$

Consigna

Dada la función del diagrama, ¿cuál es su dominio de positividad?

Solución

Tenga en cuenta que toda la función siempre está por encima del eje $x$

Por lo tanto, siempre será positiva. Su área de positividad será para toda $x$

Respuesta

Para toda $x$

Consigna

Halla el área creciente de la función

$f(x)=-4x^2-24$

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que $a=-4$

Por lo tanto $a<0$ y la parábola es el máximo

En el segundo paso hallamos a $x$ del vértice

según los datos sabemos que:

$a=-4,b=0,c=-24$

Reemplazamos los datos en la fórmula

$x=\frac{-b}{2\cdot a}$

$x=\frac{-0}{2\cdot\left(-4\right)}$

$x=\frac{0}{-8}$

$x=0$

Por lo tanto $x<0$ área creciente

Respuesta

$x<0$

Consigna

Halla el área creciente de la función

$f(x)=2x^2$

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que $a=2$

Por lo tanto $a>0$ y la parábola es mínima

En el segundo paso hallamos a $x$ del vértice

según los datos sabemos que:

$a=2,b=0,c=0$

Reemplazamos los datos en la fórmula:

$x=\frac{-b}{2\cdot a}$

$x=\frac{0}{2\cdot2}$

$x=\frac{0}{4}$

$x=0$

Por lo tanto hay crecimiento en el área $0<x$

Respuesta

$0<x$

Consigna

Halla el área creciente de la función

$f(x)=-3x^2+12$

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que $a=-3$

Por lo tanto $a<0$ y la parábola es máxima

En el segundo paso hallamos a $x$ del vértice

según los datos sabemos que:

$a=-3,b=0,c=12$

Reemplazamos los datos en la fórmula

$x=\frac{-b}{2\cdot a}$

$x=\frac{-0}{2\cdot\left(-3\right)}$

$x=\frac{0}{-6}$

$x=0$

Por lo tanto hay crecimiento en el área $x<0$

Respuesta

$x<0$

Consigna

Halla el área decreciente de la función

$y=\left(x+1\right)^2+1$

Solución

$a$ coeficiente de $x^2$

Por lo tanto $0<a$

es el punto mínimo

El vértice de la función es $\left(-1,1\right)$

La función decrece en el área de $x<-1$

Respuesta

$x<-1$

Consigna

Dada la función en la gráfica

¿Cuándo la función es positiva?

Solución

El punto de corte con el eje $x$ es: $\left(-4,0\right)$

Antes positiva, luego negativa.

Por lo tanto $x<-4$

Respuesta

$x<-4$