Tasa de variación de una función

En principio, existen tres formas básicas de describir la tasa de variación de una función:

En una gráfica podremos percibir si la tasa de variación de la función es constante o no.
Si la función es una línea recta la tasa de variación será constante.
Si la función no es una línea recta la tasa de variación no será constante.

Tasa de variación de una función representada por una tabla de valores
Creemos una tabla de valores para la función. Iremos colocando las $X$ de a una y descubriremos las $Y$ correspondientes según la función.
Pon atención Los intervalos de $X$ que elijamos deben ser fijos.
Es decir, $1,2,3,4$ o $3,5,7,9$ por ejemplo
Observaremos en qué ritmo aumenta la $Y$ en la tabla.
Si la $Y$ aumenta en un ritmo constante podremos determinar cuál es la tasa de variación.
Si la $Y$ no aumenta en un ritmo constante a medida que la $X$ lo hace, podremos determinar que la tasa de variación no es constante.

Podemos trazar gradas sobre la gráfica de la función que nos marquen los intervalos de las $X$ respecto a los intervalos de las $Y$.
La base del escalón representará el intervalo en las $X$ y la altura simbolizará el intervalo en las $Y$.

Nosotros ya sabemos que una función, de hecho, representa el cambio en Y producido por el cambio en $X$.
Sin embargo, ¿alguna vez te has puesto a pensar en el ritmo en el que ocurre dicho cambio?
La tasa de variación de una función describe el ritmo en el que cambian las variantes $Y$ respecto al cambio de las variantes $X$.
El ritmo de variación puede ser constante, fijo
o inconstante, no fijo.
Podemos ver la tasa de variación en la representación gráfica, en la tabla de valores o trazando peldaños en la gráfica de la función.
Luego de que leas esta página completa no te cabrá duda de que sabes todo lo que debes saber acerca de la tasa de variación de las funciones.

Como lo hemos señalado, la tasa de variación de una función describe en qué ritmo cambian las variables $Y$ respecto al cambio de las variables $X$. Se puede decir que la tasa de variación de una función es la pendiente de la función.
Identificaremos a la pendiente según el coeficiente de la $X$.

Con una gráfica podremos ver la tasa de variación de una función.
Veámoslo en el siguiente ejemplo:
Dada la función $y=x+4$
Ilustremos la función:

El coeficiente de la $X$ es positivo, por lo tanto, será una función creciente y $b$ la variable independiente es $4$, entonces la función cortará el eje $Y$ a través del $4$.
Otra forma de ilustrar la función es observar los puntos de intersección de la función con los ejes:
Cuando coloquemos $y=0$ encontraremos puntos de intersección con el eje $x$
y cuando coloquemos $x=0$, encontraremos puntos de intersección con el eje $y$.

Coloquemos $y=0$

y obtendremos

$0=x+4$

$x=-4$

Coloquemos $x=0$

y obtendremos

$y=0+4$

$y=4$
Ya que la línea de la función es recta en la representación gráfica podremos decir que la tasa de variación de la función es constante.
Por cada $X$ que aumentamos la $Y$ crece en el mismo ritmo.
Además, podemos decir que la tasa de variación de la función es la pendiente de la función, es decir $1$.
En otras palabras ¿cuánto cambia la variante $Y$ cuando la $X$ crece en $1$? La respuesta es $1$.
Si la pendiente fuera $2$ diríamos que la tasa de variación de la función es $2$.
En ese caso, cuando la $X$ creciera en $1$ la $Y$ lo haría en $2$.

Ya que la función no es una línea recta no tiene una pendiente fija y su ritmo de cambio no es constante.
Es decir, cuando el valor de la $X$ sube en $1$ la variación en $Y$ no será siempre la misma.

Otra manera de ver la tasa de variación es con una tabla de valores.

La tabla de valores es una tabla que muestra los pares de $X$ y de $Y$ para dicha función.
Con un cálculo bastante simple podremos descubrir si la tasa de variación de la función es constante o no y, si lo es, cuál sería.

Observa la siguiente tabla de valores que pertenece a la función con la cual hemos comenzado:

En la tabla podemos ver que, cuando la $X$ crece en $1$ también la $Y$ crece constantemente en $1$.

Nos preguntaremos:
¿Qué le pasó a la $Y$ cuando la $X$ creció en $1$?
Creció en $1$.
Nuevamente la $X$ creció en uno. ¿Qué le pasó a la $Y$?
y así sucesivamente.

Pon atención. La pendiente es la única que influye en la tasa de variación, mientras que la variable independiente no modifica nada.
Evidentemente, hemos obtenido el mismo resultado en la representación gráfica y en la tabla de valores.

Aclaración:
Nos preguntaremos que le pasaría a la $Y$ si la $X$ aumenta en $1$.
La $Y$ no tiene por qué crecer en $1$. Mientras crezca o disminuya de forma constante, la tasa de variación de la función será constante.

¿Cómo se ve una tasa de variación no constante dentro de la tabla de valores?

Se puede ver que los valores de $X$ crecen todo el tiempo en $2$.
Pero ¿qué pasa con la $Y$
¡Su valor crece a un ritmo que no es constante!
En el primer paso la $Y$ creció en $5$
En el segundo la $Y$ creció en $11$
y en el tercer paso la $Y$ creció en $2$.

Por consiguiente, se puede decir que la tasa de variación no es constante.

La tasa de variación constante o fija describe una situación en la cual para un intervalo fijo entre las variables $X$ también habrá un intervalo fijo entre las variables $Y$.
Por ejemplo, cuando el intervalo constante de las $X$ es $2$ y también el de las $Y$ es constante y no varía de vez en vez.
Si la función se representa con una gráfica recta quiere decir que la tasa de variación es constante.
La tasa de variación es la pendiente de la función.

La tasa de variación no constante o no fija describe una situación en la cual para un intervalo fijo entre las variables $X$ también habrá intervalos diferentes entre las variables $Y$.
Por ejemplo, cuando el intervalo constante de las $X$ es $2$ y el de las $Y$ no fuera constante y variara de vez en vez.
Si la función no se representa con una gráfica recta quiere decir que la tasa de variación no es constante.
Cada segmento de la función tendrá una tasa de variación diferente, una pendiente distinta.

Se puede ver la tasa de variación de una función trazando peldaños en su gráfica.
¿A qué nos referimos con peldaños?
Llamaremos así a estas marcas porque realmente parecen escalones, peldaños o gradas.
El peldaño marcará el intervalo entre las variables $X$, o sea, el «salto» entre los valores de $X$
en relación al intervalo entre las variables $Y$, es decir, el «salto» en los valores de $Y$.

La base del peldaño representará el intervalo entre las variables $X$, y su altura, el de las variables $Y$.

Tomemos la función del primer ejemplo y tracemos en ella peldaños para comprender la tasa de variación:

$y=x+4$

Podemos ver que cuando añadamos $1$ a la $X$
también la $Y$ crecerá en $1$.

Ésta es otra manera de ver si el intervalo es constante o no.
En el ejemplo, el intervalo constante equivale a $1$.

¡Excelente! Ahora ya sabes todo lo necesario sobre la tasa de variación de las funciones y también todas las formas para descubrir si la tasa es constante o no.

Si te interesa este artículo también te pueden interesar los siguientes artículos:

Funciones para séptimo grado

Tasa de variación de una función representada gráficamente

Tasa de variación de una función representada por una tabla de valores

Tasa de variación constante

Tasa de variación inconstante

Tasa de variación representada con peldaños en la gráfica de la función

En la página web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos con interesantes explicaciones sobre matemáticas