Paralelogramo - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Según las características del paralelogramo: las diagonales se cortan entre sí.

De los datos del dibujo se desprende que la diagonal AC y la diagonal BD están divididas en dos partes iguales, es decir, las diagonales se cortan entre sí:

$AO=OC=8$

$DO=OB=10$

Por lo tanto, el cuadrilátero es en realidad un paralelogramo.

Recordemos la propiedad: un cuadrilátero en el que dos pares de ángulos opuestos son iguales es un paralelogramo.

De los datos del dibujo se desprende que:

$D=B=60$

$A=C=120$

Por lo tanto, el cuadrilátero es en realidad un paralelogramo.

Según las propiedades del paralelogramo, dos lados opuestos cualesquiera son iguales entre sí.

De los datos se puede observar que sólo un par de lados opuestos son iguales y por lo tanto el cuadrilátero no es un paralelogramo.

Como sabemos que ABCD es un paralelogramo, según las propiedades del mismo todo par de lados opuestos son iguales y paralelos.

Por lo tanto $CD=AB=10$

Calculamos el área del paralelogramo según la fórmula de lado por la altura que desciende de ese lado, por lo tanto el área del paralelogramo es igual a:

$S_{ABCD}=10\times7=70cm^2$

En un paralelogramo sabemos que cada par de lados opuestos son iguales entre sí.

Los datos muestran que sólo un par de lados son iguales entre sí:

$AB=DC=8$

Ahora intentamos ver que el par adicional de lados sean iguales entre sí.

Reemplazamos$x=8$para cada uno de los lados:

$AD=2\times8+9$

$AD=16+9$

$AD=25$

$BC=8+5$

$BC=13$

Es decir, encontramos que el par de lados opuestos no son iguales entre sí:

$25\ne13$

Por lo tanto, el cuadrilátero no es un paralelogramo.

Recuerda que en un paralelogramo cada par de ángulos opuestos son iguales entre sí.

Los datos muestran que sólo un par de ángulos son iguales entre sí:

$D=B=140$

Por lo tanto, ahora encontraremos el ángulo C y veremos si es igual al ángulo A, es decir, si el ángulo C es igual a 40:

Recordemos que un par de ángulos de un mismo lado son iguales a 180 grados , por lo tanto:

$B+C=180$

Reemplazamos los datos existentes:

$140+4x=180$

$4x=180-140$

$4x=40$

Dividir por 4:

$\frac{4x}{4}=\frac{40}{4}$

$x=10$

Ahora reemplazamos a X:

$C=4\times10=40$

Es decir, hallamos que los ángulos A y C son iguales entre sí y que el cuadrilátero es un paralelogramo ya que cada par de ángulos opuestos son iguales entre sí.

La fórmula del área de un paralelogramo:

Altura * El lado al que desciende de la altura.

Reemplazamos en la fórmula todos los datos conocidos, incluyendo el área:

5*DC = 70

Dividimos por 5:

DC = 70/5 = 14

¡Y así es como revelamos a la incógnita!

Prestemos atención a las diagonales, recuerda que en un paralelogramo las diagonales se cortan entre sí.

Por lo tanto, hallaremos AO, OC, BO, DO y comprobaremos si son iguales y se cortan entre sí.

Nos referimos a la figura:

$AO=OC$

$9x+1=10x$

Colocamos términos semejantes:

$1=10x-9x$

$1=x$

Reemplazamos:

$AO=9\times1+1=10$

$OC=10\times1=10$

Ahora sabemos que efectivamente$AO=OC$

Ahora establecemos que X=1 y veremos si BO es igual a OD:

$BO=3x-2$

$BO=3\times1-2=$

$BO=3-2=1$

$OD=5x+4$

$OD=5\times1+4$

$OD=5+4=9$

Ahora hallamos que: $BO\ne OD$

Como las diagonales no se cortan entre sí, el cuadrilátero no es un paralelogramo.

Dado que ABCD es un paralelogramo,$AB=CD=8$

Según las propiedades del paralelogramo, cada par de lados opuestos son iguales y paralelos.

Para encontrar AE utilizamos el área que nos dan en la fórmula para hallar el área del paralelogramo:

$S=DC\times AE$

$40=8\times AE$

Dividimos ambos lados de la ecuación por 8:

$8AE:8=40:8$

$AE=5$

En este ejercicio se nos dan dos alturas y dos lados.

Es importante tener en cuenta: La altura exterior también se puede utilizar para calcular el área

Por lo tanto podemos realizar la operación del siguiente ejercicio:

La altura BF * el lado AD

8*6

La altura BE el lado DC
412

 La solución de estos dos ejercicios es 48, que es el área del paralelogramo.

Para hallar el área,

primero, se debe hallar la altura del paralelogramo.

Para concluir, observemos el triángulo EBC,

debido a que sabemos que es un triángulo rectángulo (porque es la altura del paralelogramo)

y se puede utilizar el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

En este caso: $EB^2+EC^2=BC^2$

Colocamos la información dada: $2^2+EC^2=5^2$

Aislamos la variable:$EC^2=5^2+2^2$

Resolvemos:$EC^2=25-4=21$

$EC=\sqrt{21}$

Ahora solo queda calcular el área.

Es importante recordar que para ello se debe utilizar la longitud de cada lado.
Es decir AE+EB=2+7=9

$\sqrt{21}\times9=41.24$

Tengamos en cuenta que AB es mayor por 3 cm que AE, por lo que debemos prestar atención a los datos cuando ponemos la fórmula para calcular el paralelogramo:

Altura multiplicado por el lado de la altura:

$AB\times AE=S$

Marcaremos AE con la letra a y por lo tanto AB será a+3:

$a\times(a+3)=32$

Abrimos los paréntesis:

$a^2+3a=32$

Utilizamos la fórmula trinomio/raíces:

$a^2+3a-32=0$$(a+8)(a-5)=0$

Eso significa que tenemos dos opciones:

$a=-8,a=5$

Dado que no es posible colocar un lado negativo en la fórmula para calcular el área$a=5$

Ahora podemos calcular los lados:

$AE=5$

$AB=5+3=8$

Llamemos CE a X

De acuerdo con los datos

$AB=x+2,AD=x-3$

El perímetro del paralelogramo:

$2(AB+AD)$

$38=2(x+2+x-3)$

$38=2(2x-1)$

$38=4x-2$

$38+2=4x$

$40=4x$

$x=10$

Ahora se puede argumentar:

$AD=10-3=7,CE=10$

El área del paralelogramo:

$CE\times AD=10\times7=70$

El perímetro del paralelogramo se calcula de la siguiente manera:

$S_{ABCD}=AB+BC+CD+DA$ Dado que ABCD es un paralelogramo, cada par de lados opuestos es igual y, por lo tanto, AB=DC y AD=BC

De acuerdo con la figura de que el lado del paralelogramo es 2 veces más grande que el lado adyacente a él, se puede argumentar que$AB=DC=2BC$

Reemplazamos los datos que conocemos en la fórmula para calcular el perímetro:

$P_{ABCD}=2BC+BC+2BC+BC$

Reemplazamos el perímetro dado en la fórmula y sumamos todos los coeficientes BC en consecuencia:

$24=6BC$

Dividimos las dos secciones por 6

$24:6=6BC:6$

$BC=4$

Sabemos que$AB=DC=2BC$Reemplazamos el dato que obtuvimos (BC=4)

$AB=DC=2\times4=8$

Como ABCD es un paralelogramo, entonces todos los pares de lados opuestos son iguales, por lo tanto BC=AD=4

Para hallar EC usamos la fórmula:$A_{ABCD}=AB\times EC$

Reemplazamos los datos existentes:

$24=8\times EC$

Dividimos las dos secciones por 8$24:8=8EC:8$

$3=EC$

En el primer paso debemos hallar la longitud de EC, que identificaremos con una X.

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados (AE+EC+CF+FA),

Como en el rectángulo los lados opuestos son iguales, la fórmula también se puede escribir así: 2AE=2EC.

Reemplazamos los datos conocidos:

$2\times8+2X=24$

$16+2X=24$

Aislamos a X:

$2X=8$

y dividimos por 2:

$X=4$

Ahora podemos usar la fórmula pitagórica para hallar EB.

(Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$)

$EB^2+4^2=5^2$

$EB^2+16=25$

Aislamos la incógnita

$EB^2=9$

Extraemos la raíz de la ecuación.

$EB=3$

El área de un paralelogramo es la altura multiplicada por el lado al que desciende la altura, es decir$AB\times EC$.

$AB=\text{ AE}+EB$

$AB=8+3=11$

Y por lo tanto aplicaremos la fórmula del área:

$11\times4=44$