Distancia de la cuerda al centro del círculo

🏆Ejercicios de las partes del círculo

La distancia de la cuerda al centro del círculo se define como la longitud de la vertical entre el centro del círculo y la cuerda.
Teoremas de la distancia convertida desde el centro del círculo:

  1. Las cuerdas que son iguales entre sí equidistan del centro del círculo.
  2. Si en un círculo, la distancia de una cuerda desde el centro del círculo es menor que la distancia de otra cuerda desde el centro del círculo, podemos determinar que la cuerda con la menor distancia es más larga que la otra cuerda.
La distancia de la cuerda al centro del círculo

Todos los teoremas pueden existir también al revés.

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¿Dónde se encuentra un punto cuya distancia al centro del círculo es menor?

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Distancia de la cuerda al centro del círculo

Ya sabemos qué es una cuerda en un círculo y por supuesto sabemos qué significa el centro del círculo..
Pero, ¿has pensado en la distancia entre el centro del círculo y la cuerda?
¡Es exactamente por eso que estamos aquí! Te presentaremos los teoremas sobre la distancia de la cuerda desde el centro del círculo que puedes usar sin necesidad de demostrarlos.
Los teoremas sobre la distancia de la cuerda desde el centro del círculo tienen lógica, no hay razón para no entenderlos y recordarlos con naturalidad.

En primer lugar, es importante saber:

La distancia de la cuerda desde el centro del círculo se define para nosotros como la longitud de la vertical que sale del centro del círculo hasta la cuerda.
Es decir:

nuevo 01 - La distancia es una vertical que va desde la cuerda hasta el centro del círculo.

¿Comenzamos?


Las cuerdas que son iguales entre sí equidistan del centro del círculo.

Veamos esto en la ilustración:

1.a - Las cuerdas que son iguales entre sí equidistan del centro del círculo

Marcaremos a AA como centro del círculo

Si 
BC=DEBC=DE
Entonces
AF=AGAF=AG

Este teorema también funciona a la inversa y por lo tanto
si la distancia de las cuerdas desde el centro del círculo es igual, las cuerdas son iguales entre sí.
Por lo tanto:
Si
AF=AGAF=AG
Entonces
BC=DEBC=DE

Si en un círculo, la distancia de una cuerda desde el centro del círculo es menor que la distancia de otra cuerda desde el centro del círculo, podemos determinar que la cuerda con la menor distancia es más larga que la otra cuerda.

Este teorema puede ser un poco confuso.
Para recordar:
distancia más corta - cuerda más larga.
distancia más larga - cuerda más corta.

La verdad es que realmente no tienes que memorizar esta oración porque la verás maravillosamente en la ilustración.
Vamos a ver:

la cuerda con la menor distancia es más larga que la otra cuerda

Frente a nosotros hay un círculo.
Marcaremos a - AA el centro del círculo.
Podemos ver claramente que la cuerda BCBC es más corta que la cuerda EDED.
También podemos observar que para la cadena más corta BCBC, la distancia es mayor del centro del círculo
y más bien a la cuerda más larga EDED, distancia más corta que la distancia del círculo.
Según este teorema podemos decir que:
si
AF<AGAF<AG
Entonces
BD<EDBD<ED
Esta teorema también funciona al revés, por lo que también podemos decir que:
si
BD<EDBD<ED
Entonces 
AF<AGAF<AG


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Distancia de la cuerda al centro del círculo (Ejemplos y ejercicios con soluciones)

Ejercicio #1

Un círculo tiene la siguiente ecuación:
x28ax+y2+10ay=5a2 x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2

El punto O es su centro y está en el segundo cuadrante (a0 a\neq0 )


Usa el método de completar el cuadrado para encontrar el centro del círculo y su radio en términos de a a .

Solución Paso a Paso

 Recordemos que la ecuación de un círculo con su centro en O(xo,yo) O(x_o,y_o) y su radio R R es:

(xxo)2+(yyo)2=R2 (x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2 Ahora, veamos la ecuación del círculo dado:

x28ax+y2+10ay=5a2 x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2
Intentaremos reorganizar esta ecuación para que coincida con la ecuación del círculo, o en otras palabras, nos aseguraremos de que en el lado izquierdo esté la suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y.

Haremos esto utilizando el método de "completar el cuadrado":

Recordemos la fórmula corta para elevar un binomio al cuadrado:

(c±d)2=c2±2cd+d2 (c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2 Trataremos por separado la parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):

x28ax+y2+10ay=5a2 \underline{ x^2-8ax}+y^2+10ay=-5a^2

Aislaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado.

Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula abreviada (elegiremos la forma de resta de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando es8ax 8ax , que tiene un signo negativo):

x28axc22cd+d2x22x4ac22cd+d2 \underline{ x^2-8ax} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \downarrow\\ \underline{\textcolor{red}{x}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\ Observa que en comparación con la fórmula corta (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior), en realidad estamos haciendo la comparación:

{xc4ad \begin{cases} x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 4a\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases} Por lo tanto, si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados en el cálculo), necesitaremos agregar el término(4</span><spanclass="katex">a)2 (4</span><span class="katex">a)^2 , pero no queremos cambiar el valor de la expresión, y por lo tanto también restaremos este término de la expresión.

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma del binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

A continuación, pondremos la expresión en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada con colores) y en la última etapa simplificaremos la expresión:

x22x4ax22x4a+(4a)2(4a)2x22x4a+(4a)216a2(x4a)216a2 x^2-2\cdot x\cdot 4a\\ x^2-2\cdot x\cdot4a\underline{\underline{+(4a)^2-(4a)^2}}\\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}+(\textcolor{green}{4a})^2-16a^2\\ \downarrow\\ \boxed{ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2}\\ Resumamos los pasos que hemos dado hasta ahora para la expresión con x.

Haremos esto dentro de la ecuación dada:

x28ax+y2+10ay=5a2x22x4a+(4a)2(4a)2+y2+10ay=5a2(x4a)216a2+y2+10ay=5a2 x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2 \\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{green}{4a}\underline{\underline{+\textcolor{green}{(4a)}^2-(4a)^2}}+y^2+10ay=-5a^2\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2+y^2+10ay=-5a^2\\ Continuaremos y haremos lo mismo para las expresiones con y en la ecuación resultante:

(Ahora elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando 10ay 10ay tiene un signo positivo)

(x4a)216a2+y2+10ay=5a2(x4a)216a2+y2+2y5a=5a2(x4a)216a2+y2+2y5a+(5a)2(5a)2=5a2(x4a)216a2+y2+2y5a+(5a)225a2=5a2(x4a)216a2+(y+5a)225a2=5a2(x4a)2+(y+5a)2=36a2 (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+10ay}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a}=-5a^2\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a\underline{\underline{+(5a)^2-(5a)^2}}}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{\textcolor{red}{y}^2+2\cdot\textcolor{red}{ y}\cdot \textcolor{green}{5a}+\textcolor{green}{(5a)}^2-25a^2}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+(\textcolor{red}{y}+\textcolor{green}{5a})^2-25a^2=-5a^2\\ \boxed{(x-4a)^2+(y+5a)^2=36a^2} En el último paso, movemos los números libres al segundo lado y combinamos términos semejantes.

Ahora que la ecuación del círculo dado está en la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer fácilmente tanto el centro del círculo dado como su radio:

(xxo)2+(yyo)2=R2(x4a)2+(y+5a)2=36a2(x4a)2+(y(5a))2=36a2 (x-\textcolor{purple}{x_o})^2+(y-\textcolor{orange}{y_o})^2=\underline{\underline{R^2}} \\ \updownarrow \\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y+\textcolor{orange}{5a})^2=\underline{\underline{36a^2}}\\ \downarrow\\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y\stackrel{\downarrow}{- }(-\textcolor{orange}{5a}))^2=\underline{\underline{36a^2}}\\

En el último paso, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo, es decir, donde solo se realiza resta dentro de las expresiones al cuadrado (enfatizado con una flecha)

Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en:O(xo,yo)O(4a,5a) \boxed{O(x_o,y_o)\leftrightarrow O(4a,-5a)} y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:

R2=36a2/R=±6a R^2=36a^2\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \rightarrow \boxed{R=\pm6a}

Recuerda que el radio del círculo, por su definición, es la distancia entre cualquier punto del diámetro y el centro del círculo. Como es positivo, debemos descalificar una de las opciones que obtuvimos para el radio.

Para hacer esto, utilizaremos la información restante que no hemos usado aún, que es que el centro del círculo dado O está en el segundo cuadrante.

Es decir:

O(x_o,y_o)\leftrightarrow x_o<0,\hspace{4pt}y_o>0 (O en palabras: el valor de x del centro del círculo es negativo y el valor de y del centro del círculo es positivo)

Por lo tanto, debe ser cierto que:

\begin{cases} x_o<0\rightarrow (x_o=4a)\rightarrow 4a<0\rightarrow\boxed{a<0}\\ y_o>0\rightarrow (y_o=-5a)\rightarrow -5a>0\rightarrow\boxed{a<0} \end{cases}

Concluimos que a<0 y como el radio del círculo es positivo, concluimos que necesariamente:

R=6a \rightarrow \boxed{R=-6a} Resumamos:

O(4a,5a),R=6a \boxed{O(4a,-5a), \hspace{4pt}R=-6a} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d. 

Respuesta

O(4a,5a),R=6a O(4a,-5a),\hspace{4pt}R=-6a

Ejercicio #2

¿En cuál de los círculos el segmento trazado es el radio?

Solución en video

Respuesta

Ejercicio #3

¿En cuál de los círculos está el punto marcado en el círculo y no sobre la circunferencia?

Solución en video

Respuesta

Ejercicio #4

Calcula el área de la sección pintada de rojo. Dado que el área del círculo es 12.

240

Solución en video

Respuesta

8

Ejercicio #5

Calcula la longitud del arco pintado en rojo.

Dada la circunferencia igual a 24.

150°150°150°

Solución en video

Respuesta

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