Ángulo central en un círculo

Marcaremos el centro del círculo con la letra $A$.

Contamos que un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo
y sus lados son los radios del círculo.
Por lo tanto, si trazamos dos radios, se formará un ángulo.
El ángulo que se creará será un ángulo central en el círculo.

Ahora que ya sabemos qué es un ángulo central en un círculo y podemos identificarlo fácilmente,
debemos conocer algunos teoremas y características importantes de un ángulo central en un círculo.
¿Empezamos?

¿Cuándo podemos determinar que dos ángulos centrales en un círculo son iguales?
En dos casos:

• Si los arcos sobre los que se inclinan los ángulos son iguales, entonces podemos determinar que los ángulos centrales son iguales.

Veamos esto en la figura:

Si $BC=DE$
Entonces $∢A1=∢A2$

Si los arcos delante de los ángulos centrales son iguales, entonces los ángulos centrales son iguales.

De la misma manera, el teorema funciona al revés.
Si los ángulos centrales son iguales, los arcos delante de ellos también son iguales.

• Si las cuerdas opuestas a los ángulos centrales son iguales, entonces podemos determinar que los ángulos centrales son iguales.

Veamos esto en la figura:

Si $BC=DE$
entonces $∢A1=∢A2$

Si las cuerdas delante de los ángulos centrales son iguales, entonces los ángulos centrales son iguales.
De la misma manera, el teorema funciona al revés.
Si los ángulos centrales son iguales, las cuerdas delante de ellos también son iguales.

Ahora aprenderemos la relación entre un ángulo central en un círculo y un ángulo inscrito en un círculo.
Recuerde que un ángulo inscrito en un círculo es un ángulo cuyo vértice está en la parte superior del círculo y cuyos extremos son cuerdas en un círculo.
Como aquí:

En un círculo, el ángulo central será el doble del ángulo inscrito que se inclina sobre el mismo arco.
O bien, el ángulo inscrito será igual a la mitad del ángulo central que se inclina sobre el mismo arco.

Es decir:
Si en el círculo identificamos un ángulo central y un ángulo inscrito que se se inclinan sobre el mismo arco, podemos decir que como se inclinan sobre el mismo arco, el ángulo inscrito será igual a la mitad del ángulo central o alternativamente, el ángulo central será el doble del ángulo inscrito.
Y lo veremos en la ilustración:

Ante nosotros hay un círculo.

Podemos identificar que el ángulo $A$ es un ángulo central, que sale del vértice del círculo y sus radios de los extremos, mientras que un ángulo $B$ es un ángulo inscrito - un vértice está en el círculo y sus extremos son cuerdas.
También podemos ver que estos dos ángulos se inclinan - están en el mismo arco - $CD$
Por lo tanto, podemos concluir que el ángulo inscrito $B$ es igual a la mitad del ángulo central $A$ o alternativamente, el ángulo $A$ es igual al doble del ángulo $B$.

$∢A=α$
$∢B=1/2 α$

o 

$∢A=2α$
$∢B=α$

¡Maravilloso!

Ahora entendemos la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central. Vale la pena conocer más representaciones diferentes de ángulos inscritos y centrales que están en el mismo arco:

Si en un círculo nos dan que el ángulo inscrito tiene $5$ grados y nos preguntan cuál es el valor del ángulo central marcado,
podemos ver que se inclinan sobre el mismo arco y por lo tanto determinar que el ángulo central es $2$ veces mayor que el ángulo inscrito que se inclina sobre el mismo arco.
Se deduce
que el ángulo central marcado es igual a $10$.
$5\times2=10$

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