Factorización según fórmulas de multiplicación abreviada o factorización según los productos notables

Nos preguntaremos:

1. ¿Hay una expresión positiva y otra negativa? 
2. ¿Podemos encontrar la raíz de cada una de las expresiones por separado? 

Si hemos contestado positivamente a ambas preguntas, todo lo que nos queda por hacer es simplemente sacar la raíz de los dos términos y escribirlas según la fórmula.

Observa:
Colocaremos las raíces entre paréntesis.
En caso de que llegará a haber dos términos positivos o dos términos negativos no será posible utilizar esta fórmula.

Para utilizar las otras fórmulas :$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

deberemos corroborar que se cumplan tres condiciones. Nos preguntaremos:

1. ¿Los dos términos de los que sacaremos las raíces tienen el mismo signo? o sea ¿ambos son positivos o ambos son negativos?
2. ¿Podemos sacar la raíz de los dos términos por separado? ¿$a$ y $b$? 
3. Si multiplicamos el producto de las raíces por $2$ ¿obtendremos el término medio (en positivo o en negativo)? 

Si hemos contestado positivamente a todas las preguntas,
todo lo que nos queda por hacer es simplemente colocar las raíces obtenidas en la fórmula correspondiente.
Observa que, si el tercer término era negativo en el ejercicio original lo colocaremos en la fórmula con el signo de restar. ¿Cuándo no se pueden utilizar estas fórmulas?
Cuando en el ejercicio original los signos de los términos de los que queramos sacar raíces sean diferentes, es decir, un término positivo y otro negativo, no podremos utilizar estas fórmulas.

$x^2-64=$
Nos preguntaremos:

• ¿Hay una expresión positiva y otra negativa? La respuesta es sí. 
• ¿Podemos encontrar la raíz de cada una de las expresiones por separado? La respuesta es sí.

Magnífico. Todo lo que nos queda por hacer es simplemente sacar la raíz de los dos términos y escribirlas según la fórmula.
Obtendremos:
$(x-8)(x+8)$

$x^2-18+81=$
Nos preguntaremos:

• ¿Los dos términos de los que sacaremos las raíces tienen el mismo signo? Es decir ¿ambos son positivos o ambos son negativos? La respuesta es sí. Ambos son positivos.
• ¿Podemos sacar la raíz de los dos términos por separado? $a$  y $b$¿La respuesta es positiva?

raíz $a$ sera $x$
raíz $b$ sera $9$

Si multiplicamos el producto de las raíces por $2$ ¿obtendremos el término medio (en positivo o en negativo)? La respuesta es sí.
$9\times x\times 2=18x$

Magnífico. Ahora, todo lo que nos queda por hacer es simplemente colocar las raíces obtenidas en la fórmula correspondiente.
Observemos que el término medio tiene el signo de restar en el ejercicio original. Por lo tanto, lo pondremos en la fórmula con signo menos y obtendremos:
$(x-9)^2$

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¿Qué es la factorización de los productos notable?

Una factorización es reescribir una suma o una resta en una multiplicación de otros números, en el caso de los productos notables es reescribir una suma o resta de términos algebraicos en una multiplicación.

¿Cuántos y cuáles son los tipos de factorización?

Existen diversas formas de factorizar un término algebraico, nos podemos encontrar desde una factorización de un monomio, factorizar un polinomio con un término en común y factorización con fórmulas abreviadas de multiplicación o también conocidos como factorización utilizando productos notables, que son tres los vistos en este artículo, los cuales son:

• La suma de dos números al cuadrado, escrito de la siguiente forma algebraica

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

• La resta de dos números al cuadrado. La cual la descomposición según fórmulas de multiplicación abreviada son

$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

• Binomio conjugado. Su fórmula abreviada es:

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$

¿Cómo se hace para factorizar?

Para saber cómo se factoriza términos algebraicos vamos a ver factorización basada en productos notables vistos en el artículo,

Ejemplo 1

Consigna. Factoriza los siguientes términos algebraicos

$4x^2-16=$

Solución

Podemos observar que es una diferencia de cuadrados por lo tanto podemos factorizar con base al producto notable de binomios conjugados. Cabe recordar que es importante verificar que se trata de una resta, de lo contrario si hubiera un signo mas no podríamos factorizar de esta manera.

Por lo tanto nos cuestionamos

• ¿Hay una expresión positiva y otra negativa? La respuesta es sí.
• ¿Podemos encontrar la raíz de cada una de las expresiones por separado? La respuesta es sí.

De acuerdo a esto podemos calcular la raíz de ambos términos

La raíz de $4x^2$ es $2x$, mientras que la raíz cuadrada de $16$ es $4$, teniendo las raíces ahora si podemos ocupar la formula.

$4x^2-16=\left(2x+4\right)\left(2x-4\right)$

Respuesta

$4x^2-16=\left(2x+4\right)\left(2x-4\right)$

Ejemplos 2.

Consigna. Factoriza el siguiente trinomio $x^2+10x+25=$

Solución

Nuevamente nos preguntamos lo siguiente para determinar cómo vamos a factorizar

• ¿Los dos términos de los que sacaremos las raíces tienen el mismo signo? Es decir ¿ambos son positivos o ambos son negativos? La respuesta es sí. Ambos son positivos.
• ¿Podemos sacar la raíz de los dos términos por separado? $a$ y $b$¿La respuesta es positiva?

Entonces calculamos la raíz cuadrada del primer y tercer término:

$\sqrt{x^2}=x$

$\sqrt{25}=5$

Ahora solo falta verificar que si multiplicamos por $2$ estos dos terminamos obtenemos el segundo término del trinomio que se debe de factorizar

$5\times x\times2=10x$

Efectivamente, obtenemos el segundo término del trinomio y además es positivo, por lo cual usaremos la fórmula del producto notable la suma de dos números al cuadrado, quedando de la siguiente manera:

$x^2+10x+25=\left(x+5\right)^2$

Respuesta

$x^2+10x+25=\left(x+5\right)^2$