Una tangente a uncírculoes una línea que toca el círculo en un punto.
Teorema de la tangente:
1) La tangente al círculo es perpendicular al radio en el punto inicial
2) Toda recta perpendicular al radio en su extremo es tangente al círculo
3) El ángulo entre la tangente y cualquier cuerda es igual al ángulo circunferencial que descansa sobre esa cuerda del otro lado.
4) Dos tangentes al círculo que salen del mismo punto son iguales entre sí.
5) Un segmento que pasa entre el centro del círculo y el punto del que salen dos tangentes al círculo, corta el ángulo entre las tangentes.
6) Si de cualquier punto fuera del círculo, una tangente sale y corta al círculo, entonces el producto de toda la tangente en su la parte exterior es igual a la tangente al cuadrado.
7) En el triángulo que bloquea el círculo, las tres bisectrices de los ángulos del triángulo se encuentran en un punto en el centro del círculo.
8) Podemos determinar que un cuadrilátero convexo bloquea un círculo sólo si - la suma de dos lados opuestos en el cuadrado será igual a la suma de los otros dos lados en el cuadrado.
Antes de comenzar a aprender acerca de las muchas propiedades de una tangente a un círculo, nos preguntamos: ¿Qué es una tangente de un círculo? No hay nada que temer de la palabra tangente. Una tangente es simplemente una línea que toca algo - una tangente. Una tangente a un círculo es una línea que toca el círculo en un punto. Veamos la tangente en la figura:
Notaremos que la tangente toca solo un punto en el círculo y por lo tanto no pasa por él sino fuera de él. El punto donde la tangente toca el círculo se llama punto de lanzamiento.
Teorema de la tangente
¡Maravilloso! Ahora iremos a los teoremas de la tangente a un círculo que podemos usar sin probarlos. Para recordar más fácilmente todos los teoremas de la tangente, dividiremos los teoremas de la tangente en 4 grupos: tangente y radio, tangente y ángulos, dos tangentes, tangente con un triángulo y un cuadrilátero.
Sabemos que puede dar un poco de miedo, pero no te preocupes, poco a poco entenderás el tema y verás que el demonio no es tan terrible. ¿Comenzamos?
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Ejercicio 1
¿En cuál de los círculos el segmento trazado es el radio?
En este grupo, hay 2 teoremas que son esencialmente lo mismo conectados con la relación entre la tangente y el radio. (teorema inverso)
1) La tangente al círculo, perpendicular al radio en el punto de lanzamiento.
Es decir, la tangente al círculo, la que dibujamos antes, que toca el círculo en un solo punto, es perpendicular al radio del círculo, forma un ángulo de 90o grados con él, en el punto de lanzamiento. Veamos esto en la figura:
Si BC es tangente al círculo entonces ∢ABC=90 Podemos ver que la tangente al círculo forma un ángulo de 90o grados con el radio. Este ángulo se forma en el punto de lanzamiento donde toca la tangente al círculo.
¡Magnífico! Ahora pasaremos al segundo teorema, lo opuesto al primer teorema.
2) Toda recta perpendicular al radio en su extremo es tangente al círculo.
Es decir, si hay una línea recta que forma un ángulo de 90o grados con el radio en su extremo, podemos determinar que es tangente al círculo: toca el círculo en un punto.
Este es un teorema que en realidad comprueba que la línea recta es tangente al círculo. Observando la figura, podemos determinar que:
si
∢ABC=90
entonces
BC es una tangente al círculo
¡Maravilloso! Ahora pasaremos al segundo grupo.
Segundo grupo: tangente y ángulos
En este grupo, solo el teorema Ed describe el ángulo entre una tangente y una cuerda. El ángulo entre la tangente y cualquier cuerda es igual al ángulo circunferencial que descansa sobre esa cuerda desde su otro lado.
Vamos a explicar este teorema.
Primero, entendamos qué es un ángulo entre una tangente y una cuerda:
AC es la tangente. BD es la cuerda. ¿Cuál es el ángulo formado entre la tangente y la cuerda? ∢ADB Lo marcaremos en rojo.
Prestar atención que se ha creado otro ángulo entre la tangente y la cuerda ∢CDB Lo veremos a continuación. Ahora, continuaremos leyendo el teorema y preguntaremos: ¿Cuál es el ángulo de la circunferencia que descansa sobre la misma cuerda del otro lado? Aprendimos que un ángulo circunferencial es un ángulo cuyo vértice está en la parte superior del círculo y cuyos catetos son las cuerdas. Veamos el ángulo periférico apoyado en la misma cuerda desde el otro lado de la figura:
El ángulo que descansa sobre la misma cuerda en el otro lado es ∢DEB Lo marcaremos en naranja. Regresemos al teorema: el ángulo entre la tangente y cualquier cuerda es igual al ángulo periférico que descansa sobre esa cuerda desde el otro lado. Por lo tanto ∢DEB=∢ADB ¿Recuerdas que dijimos que la tangente crea otro ángulo con la cuerda? Ahora nos referiremos a eso: ∢CDB y márquelo en rojo.
¿Puedes decir qué ángulo es igual al que descansa sobre la misma cuerda en el otro lado? ¡Por supuesto! ∢DGB y por lo tanto ∢CDB=∢DGB
¡Presta atención! A veces en estos ejercicios se combinará 2 ángulos entre una tangente y una cuerda, y tendrá que identificar cuál es igual a qué ángulo según este teorema. Por lo tanto, practíquelo bien. Esto es exactamente qué ángulo circunferencial, el ángulo es igual al ángulo entre una tangente y una cuerda y estarás listo para cualquier escenario. Y ahora... pasaremos al tercer grupo.
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 1
¿Es correcto decir la circunferencia de un círculo?
En este grupo hay tres teoremas que describen los trabajos y propiedades de dos tangentes a una circunferencia. 1) Dos tangentes al círculo que parten del mismo punto son iguales entre sí.
Es decir, si tenemos un círculo delante de nosotros, aunque haya 2 tangentes que salgan del mismo punto (independientemente del punto de partida) serán iguales entre sí. Veamos esto en la figura:
Tenemos un círculo frente a nosotros con dos tangentes AB y CB ambas tangentes, salen del mismo punto B. Según el teorema cuando dos tangentes a un círculo salen del mismo punto son iguales entre sí y por lo tanto: AB=CB
2) Un segmento que pasa entre el centro del círculo y el punto de donde salen dos tangentes al círculo, corta el ángulo entre las tangentes.
Es decir, si hay dos tangentes al círculo que salen del mismo punto y hay un segmento que conecta su punto de partida con el centro del círculo, este segmento también cruza el ángulo entre las tangentes. Observa esto en la figura:
Tenemos ante nosotros una circunferencia y dos tangentes a ella que salen del mismo punto AB y CB El segmento EB es el segmento que une el centro del círculo E con el punto del que salen las dos tangentes B. Según el teorema, este segmento es también la bisectriz del ángulo entre las tangentes y por lo tanto: ∢CBE=∢ABE
3) Si de algún punto fuera del círculo sale una tangente y corta al círculo, entonces el producto de todo el corte en su parte exterior es igual a la tangente al cuadrado.
No te preocupes, verás a qué nos referimos en este teorema en la ilustración y te quedará mucho más claro:
Ante nosotros hay un círculo. AB es una tangente al círculo y BD es la intersección. Ambos salen del mismo punto B. Tenga en cuenta que: CB es la parte exterior de la intersección. Según el teorema podemos determinar que:
DB∗CB=AB2
Para entender el teorema, daremos números a las diferentes longitudes. Ejemplo numérico: AB=X Desconocido CB=1 DC=3
¿Podemos hallar a AB la longitud de la tangente? Por supuesto: primero calcule cuál es la longitud de toda la sección: 1+3=4 Reemplazamos en la fórmula y obtenemos que: 4∗2=X2 8=X2 X=2.282 Por lo tanto, la longitud de la tangente es 2.282
Magnífico. Ahora pasaremos al cuarto y último grupo.
Cuarto grupo: tangente con un triángulo y un cuadrilátero
En este grupo hay dos teoremas y describen las tangentes al círculo cuando forman parte de un triángulo o cuadrilátero que bloquea el círculo.
1) En un triángulo que bloquea el círculo, las tres bisectrices de los ángulos del triángulo se encuentran en un punto en el centro del círculo.
Este teorema es simple y fácil. Solo describe el trabajo de que cuando un círculo está bloqueado en un triángulo, las tres bisectrices de los ángulos del triángulo se encuentran en el centro del círculo. Notaremos que los lados del triángulo son en realidad tres tangentes al círculo, de ahí la conexión a la tangente. Veamos esto en la figura y lo entenderemos mejor:
Ante nosotros hay un círculo cuyo centro es A. Podemos notar que el círculo está bloqueado dentro de un triángulo. También podemos ver que las tres bisectrices de los ángulos en el triángulo se encuentran en el centro del círculo bloqueado .
2) Podemos determinar que un cuadrilátero convexo bloquea un círculo solo si - la suma de dos lados opuestos en el cuadrilátero es igual a la suma de los otros dos lados en el cuadrilátero.
Básicamente, esta es una condición de comprobación de que el cuadrado bloquea el círculo. Notaremos que el cuadrado crea cuatro tangentes al círculo y, por lo tanto, la conexión con la tangente. Veamos esto en la figura para entenderlo mejor:
Ante nosotros hay un círculo y un cuadrilátero convexo. Podemos determinar que:
si AB+CD=AD+BC
entonces ABCD Cuadrilátero que bloquea el círculo
¡Excelente! ¡Ahora conoces todos los teoremas de tangentes en profundidad y puedes usarlas a partir de ahora!
¿Cómo se calcula la tangente de un círculo? (Ejemplos y ejercicios con soluciones)
Ejercicio #1
Un círculo tiene la siguiente ecuación: x2−8ax+y2+10ay=−5a2
El punto O es su centro y está en el segundo cuadrante (a=0)
Usa el método de completar el cuadrado para encontrar el centro del círculo y su radio en términos de a.
Solución Paso a Paso
Recordemos que la ecuación de un círculo con su centro en O(xo,yo) y su radio R es:
(x−xo)2+(y−yo)2=R2Ahora, veamos la ecuación del círculo dado:
x2−8ax+y2+10ay=−5a2 Intentaremos reorganizar esta ecuación para que coincida con la ecuación del círculo, o en otras palabras, nos aseguraremos de que en el lado izquierdo esté la suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y.
Haremos esto utilizando el método de "completar el cuadrado":
Recordemos la fórmula corta para elevar un binomio al cuadrado:
(c±d)2=c2±2cd+d2Trataremos por separadola parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):
x2−8ax+y2+10ay=−5a2
Aislaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado.
Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula abreviada (elegiremos la forma de resta de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando es8ax, que tiene un signo negativo):
x2−8ax↔c2−2cd+d2↓x2−2↓⋅x⋅4a↔c2−2↓cd+d2Observa que en comparación con la fórmula corta (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior), en realidad estamos haciendo la comparación:
{x↔c4a↔d Por lo tanto, si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados en el cálculo), necesitaremos agregar el término(4</span><spanclass="katex">a)2, pero no queremos cambiar el valor de la expresión, y por lo tanto también restaremos este término de la expresión.
Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma del binomio al cuadrado,
En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),
A continuación, pondremos la expresión en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada con colores) y en la última etapa simplificaremos la expresión:
x2−2⋅x⋅4ax2−2⋅x⋅4a+(4a)2−(4a)2x2−2⋅x⋅4a+(4a)2−16a2↓(x−4a)2−16a2Resumamos los pasos que hemos dado hasta ahora para la expresión con x.
Haremos esto dentro de la ecuación dada:
x2−8ax+y2+10ay=−5a2x2−2⋅x⋅4a+(4a)2−(4a)2+y2+10ay=−5a2↓(x−4a)2−16a2+y2+10ay=−5a2Continuaremos y haremos lo mismo para las expresiones con y en la ecuación resultante:
(Ahora elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando 10ay tiene un signo positivo)
(x−4a)2−16a2+y2+10ay=−5a2↓(x−4a)2−16a2+y2+2⋅y⋅5a=−5a2(x−4a)2−16a2+y2+2⋅y⋅5a+(5a)2−(5a)2=−5a2↓(x−4a)2−16a2+y2+2⋅y⋅5a+(5a)2−25a2=−5a2↓(x−4a)2−16a2+(y+5a)2−25a2=−5a2(x−4a)2+(y+5a)2=36a2En el último paso, movemos los números libres al segundo lado y combinamos términos semejantes.
Ahora que la ecuación del círculo dado está en la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer fácilmente tanto el centro del círculo dado como su radio:
En el último paso, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo, es decir, donde solo se realiza resta dentro de las expresiones al cuadrado (enfatizado con una flecha)
Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en:O(xo,yo)↔O(4a,−5a) y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:
R2=36a2/→R=±6a
Recuerda que el radio del círculo, por su definición, es la distancia entre cualquier punto del diámetro y el centro del círculo. Como es positivo, debemos descalificar una de las opciones que obtuvimos para el radio.
Para hacer esto, utilizaremos la información restante que no hemos usado aún, que es que el centro del círculo dado O está en el segundo cuadrante.
Es decir:
O(x_o,y_o)\leftrightarrow x_o<0,\hspace{4pt}y_o>0 (O en palabras: el valor de x del centro del círculo es negativo y el valor de y del centro del círculo es positivo)
