Fórmulas de multiplicación abreviadas - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada:

$4-x^2=0$

Movemos las secciones y extraemos la raíz:

$4=x^2$

$x=\sqrt{4}$

$x=\pm2$

Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

$x^2+2\times x\times3+3^2=$

$x^2+6x+9$

Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

$(x-y)(x-y)=$

$x^2-xy-yx+y^2=$

$x^2-2xy+y^2$

De acuerdo a la fórmula de multiplicación acortada:

Como 7 y X aparecen dos veces, elevamos ambos términos a la potencia:

$(7+x)^2$

En esta consigna, se nos pide que reduzcamos la fórmula usando las fórmulas de multiplicación abreviadas.

Recordemos las fórmulas:

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y)\times(x-y)=x^2-y^2$

Dado que en el ejercicio dado solo hay operación de suma, la fórmula apropiada es la segunda:

Ahora intentemos pensar, ¿qué número multiplicado por sí mismo será igual a 4 y qué número multiplicado por sí mismo será igual a 25?

Las respuestas son respectivamente 2 y 5:

Escribiremos:

$(2x+5)^2=$

$(2x+5)(2x+5)=$

$2x\times2x+2x\times5+2x\times5+5\times5=$

$4x^2+20x+25$

Eso significa que nuestra solución es correcta.

Primero resolvemos el ejercicio abriendo los corchetes interiores:

(2[x+3])²

(2x+6)²

Ahora usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

(X+Y)²=X²+2XY+Y²

(2x+6)² = 2x² + 2x*6*2 + 6² = 2x+24x+36

Para resolver la pregunta, necesitamos conocer una de las fórmulas de multiplicación abreviadas:

$(x−y)^2=x^2−2xy+y^2$

Ahora, aplicamos esta propiedad dos veces:

$(x-2)^2=x^2-4x+4$

$(x-3)^2=x^2-6x+9$

Ahora sumamos:

$x^2-4x+4+x^2-6x+9=$

$2 x^2-10x+13$

Resolvamos la ecuación dada:

$60-16y+y^2=-4$Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:

$60-16y+y^2=-4 \\ 60-16y+y^2+4=0 \\ y^2-16y+64=0$Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:

$(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2$Esto se hace usando el hecho de que:

$64=8^2$Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:

$y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-16y+\textcolor{blue}{8}^2=0$Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:

$(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2$Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:

$\textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2=0$Notemos que los términos $\textcolor{red}{y}^2,\hspace{6pt}\textcolor{blue}{8}^2$efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),

Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):

$(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2$En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:

$\textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 \\ \updownarrow\text{?}\\ \textcolor{red}{y}^2-\underline{2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}}+\textcolor{blue}{8}^2 =0$Y efectivamente se cumple que:

$2\cdot y\cdot8=16y$Así que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:

$\textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0$A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado:

$(y-8)^2=0\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ y-8=\pm0\\ y-8=0\\ \boxed{y=8}$

Resumamos entonces la solución de la ecuación:

$60-16y+y^2=-4 \\ y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 \\ \downarrow\\ y-8=0\\ \downarrow\\ \boxed{y=8}$

Así que la respuesta correcta es la opción a.

$$La ecuación en el problema es:

$x^2+10x+50=-4x+1$Primero, identificamos que la ecuación es cuadrática (y esto es porque el término cuadrático en ella no se cancela), por lo tanto, simplificaremos la ecuación moviendo todos los términos a un lado y combinando los términos semejantes:

$x^2+10x+50=-4x+1 \\ x^2+10x+4x+50-1 =0 \\ x^2+14x+49 =0 \\$

Queremos resolver esta ecuación usando factorización.

Primero, verificaremos si podemos encontrar un factor común, pero esto no es posible, ya que no hay un factor multiplicativo común a los tres términos en el lado izquierdo de la ecuación.

Podemos factorizar la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula de factorización cuadrática para un trinomio, sin embargo, preferimos factorizarla usando el método de factorización de trinomios:

Observa que el coeficiente del término cuadrático (el término con la segunda potencia) es 1, y por lo tanto podemos intentar realizar la factorización de acuerdo con el método rápido de trinomios:

Pero antes de hacer esto en el problema - recordemos la regla general para factorizar con el método rápido de trinomios:

La regla establece que para la expresión cuadrática algebraica:

$x^2+bx+c$Podemos encontrar una factorización en forma de producto si podemos encontrar dos números $m,\hspace{4pt}n$tales que se cumplan las condiciones (condiciones del método rápido de trinomios):

$\begin{cases} m\cdot n=c\\ m+n=b \end{cases}$Si podemos encontrar dos números tales $m,\hspace{4pt}n$entonces podemos factorizar la expresión general mencionada anteriormente en forma de producto y presentarla como:

$x^2+bx+c \\ \downarrow\\ (x+m)(x+n)$que es su forma factorizada (factores de producto) de la expresión,

Volvamos ahora a la ecuación en el problema que recibimos en la última etapa después de ordenarla:

$x^2+14x+49 =0$Observa que los coeficientes de la forma general que mencionamos en la regla anterior:

$x^2+bx+c$son:$\begin{cases} c=49 \\ b=14 \end{cases}$No olvides considerar el coeficiente junto con su signo.

Continuemos - queremos factorizar la expresión en el lado izquierdo en factores de acuerdo con el método rápido de trinomios, arriba, así que buscaremos un par de números $m,\hspace{4pt}n$ que satisfagan:

$\begin{cases} m\cdot n=49\\ m+n=14 \end{cases}$Intentaremos identificar este par de números usando nuestro conocimiento de la tabla de multiplicar, comenzaremos desde la multiplicación entre los dos números requeridos $m,\hspace{4pt}n$ es decir, desde la primera fila del par de requisitos que mencionamos en la última etapa:

$m\cdot n=49$Identificamos que su producto necesita dar un resultado positivo, y por lo tanto podemos concluir que sus signos son idénticos.

A continuación, nos referiremos a los factores (enteros) del número 49, y por nuestro conocimiento de la tabla de multiplicar podemos saber que solo hay dos posibilidades para tales factores: 7 y 7, o 49 y 1, como concluimos anteriormente que sus signos deben ser idénticos, una rápida verificación de las dos posibilidades para la segunda condición:

$m+n=14$ nos llevará a una rápida conclusión de que la única posibilidad para cumplir ambas condiciones anteriores juntas es:

$7,\hspace{4pt}7$Es decir:

$m=7,\hspace{4pt}n=7$(No importa cuál llamemos m y cuál llamemos n)

Se satisface que:

$\begin{cases} \underline{7}\cdot \underline{7}=49\\ \underline{7}+\underline{7}=14 \end{cases}$ A partir de aquí - entendimos cuáles son los números que estamos buscando y por lo tanto podemos factorizar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación en cuestión y presentarla como un producto:

$x^2+14x+49 \\ \downarrow\\ (x+7)(x+7)$

En otras palabras, realizamos:

$x^2+bx+c \\ \downarrow\\ (x+m)(x+n)$

Entonces factorizamos la expresión cuadrática en el lado izquierdo de la ecuación en factores usando la factorización de acuerdo con el método rápido de trinomios, y la ecuación es:

$x^2+14x+49=0 \\ \downarrow\\ (x+7)(x+7)=0\\ (x+7)^2=0\\$$$$$En la última etapa notamos que la expresión en el lado izquierdo el término:

$(x+7)$

está multiplicado por sí mismo y por lo tanto la expresión puede escribirse como un término al cuadrado:

$(x+7)^2$

Ahora que la expresión en el lado izquierdo ha sido factorizada en forma de producto (en este caso no solo un producto sino en realidad una forma de potencia) continuaremos con la solución rápida de la ecuación que recibimos:

$(x+7)^2=0$

Prestemos atención a un hecho simple, en el lado izquierdo hay un término que está elevado a la segunda potencia, y en el lado derecho el número 0.

0 al cuadrado (a la segunda potencia) dará el resultado 0, así que obtenemos que la ecuación equivalente a esta ecuación es la ecuación:

$x+7=0$(Podríamos haber resuelto algebraicamente y tomado la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, discutiremos esto en una nota al final)

Resolveremos esta ecuación transfiriendo el número constante al otro lado y obtendremos que la única solución es:

$x=-7$Resumamos entonces las etapas de resolución de la ecuación cuadrática usando el método de factorización rápida de trinomios:

$x^2+14x+49=0 \\ \downarrow\\ (x+7)(x+7)=0\\ (x+7)^2=0\\ \downarrow\\ x+7=0\\ x=-7$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta B.

Nota:

Podríamos haber llegado a la ecuación final tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, sin embargo - tomar una raíz cuadrada implica considerar dos posibilidades: positiva y negativa (es suficiente considerar esto solo en un lado, como se describe en el cálculo a continuación), es decir, podríamos haber realizado:

$(x+7)^2=0\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{8pt}}\\ \downarrow\\ \sqrt{(x+7)^2}=\pm\sqrt{0} \\ x+7=\pm0\\ x+7=0$

En el lado izquierdo, la raíz (que es una potencia de un medio) y la segunda potencia se cancelaron entre sí, y en el lado derecho la raíz de 0 es 0, y consideramos dos posibilidades positiva y negativa (este es el signo más-menos indicado) excepto que el signo (que es en realidad multiplicación por uno o menos uno) no afecta a 0 que permanece 0 en ambos casos, y por lo tanto llegamos a la misma ecuación a la que llegamos por lógica - en la solución anterior.

En un caso donde en el lado derecho hay un número distinto de 0, podríamos resolver solo tomando la raíz y considerando las dos posibilidades positiva y negativa que luego darían dos posibilidades diferentes para la solución.

Para resolver el ejercicio, necesitamos saber la fórmula de multiplicación abreviada:

En este ejercicio, usaremos la fórmula dos veces:

$(x+1)^2=x^2+2x+1$

$(x+2)^2=x^2+4x+4$

Ahora, sumamos:

$x^2+2x+1+x^2+4x+4=2x^2+6x+5$

x²+2x+1+x²+4x+4=
2x²+6x+5

Tenga en cuenta que se puede extraer un factor común de parte de los dígitos: $2(x^2+3x)+5$

Para resolver el ejercicio, recuerda las fórmulas de multiplicación abreviadas:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

Comencemos usando la propiedad en ambos casos:

$(x+3)^2=x^2+6x+9$

$(x+2)^2=x^2+4x+4$

Los colocamos de nuevo en la fórmula:

$2(x^2+6x+9)+3(x^2+4x+4)=$

$2x^2+12x+18+3x^2+12x+12=$

$5x^2+24x+30$

Movemos las secciones e igualamos a 0

$4x^2-3-6=0$

$4x^2-9=0$

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada:

$4(x^2-\frac{9}{4})=0$

$x^2-(\frac{3}{2})^2=0$

$(x-\frac{3}{2})(x+\frac{3}{2})=0$

$x=\pm\frac{3}{2}$

Recuerda que el área del cuadrado es igual al lado del cuadrado elevado a la 2da potencia.

La fórmula del área del cuadrado es

$A=L^2$

Colocamos los datos en la fórmula:

$A=(x-7)^2$