Hallar un dato que falta en la proporcionalidad

En el zoológico «Libertad para todos» la razón entre los camellos y los pavos reales es de $2:5$.

Se sabe que en el zoológico «Firmamento» existe la misma razón que en «Libertad para todos» entre los camellos y los pavos reales.

También se sabe que, en el zoológico Firmamento hay $20$ pavos reales.

¿Cuántos camellos hay en el zoológico Firmamento?

Solución:

1. Identificaremos la razón dada en la pregunta entre ambos términos y la anotaremos en forma de fracción.

En la pregunta dice que la razón entre camellos y pavos reales es $2:5$.

La escribiremos en forma de fracción y anotaremos junto a cada término a qué se refiere:

1. La compararemos con la otra razón (también en forma de fracción) que incluye el tercer dato de la pregunta y también la incógnita $x$.

Ya que han contado que la razón entre los camellos y los pavos reales es la misma en ambos zoológicos podemos equipararlas.

Ya sabemos que hay $20$ pavos reales en el zoológico Firmamento, la cantidad de camellos es la incógnita que debemos hallar.

Por consiguiente, trazaremos la siguiente ecuación:

3.Despejar la $x$. Ahora que tenemos una ecuación con una incógnita podremos hallar la $x$ fácilmente ayudándonos de un factor común o multiplicando en cruz.

Obtendremos:

$\frac{2}{5}=\frac{x}{20}$

$5x=40$

$x=8$

Recordemos que la idea es la relación de equivalencia. Entonces, podríamos preguntarnos ¿por cuánto multiplicamos a $5$ para llegar a $20$?

Ese exactamente es el número por el cuál multiplicaremos el $2$ para llegar al resultado requerido.

Entonces podemos observar que si multiplicamos a $5\times4=20$ , entonces el $2$ también se deberá multiplicar por $4$ y esto nos da $8$, por lo tanto existen $8$ camellos.

Observa, en ciertas ocasiones no se nos dará el tercer dato de un modo demasiado claro en la pregunta, entonces deberemos expresarlo también con una $x$ y resolver la ecuación para conocer la incógnita.

En una joyería hay $60$ collares y $120$ anillos.

María tiene $10$ collares y, la razón entre la cantidad de collares y de anillos que guarda en su joyero personal, es idéntica a la de la joyería.

Nosotros debemos hallar la cantidad de anillos que hay en el joyero de María.

En esta pregunta hay proporcionalidad (relación de equivalencia) entre la joyería y el joyero personal de María en la cantidad de objetos.

Escribamos la relación, obtendremos:

$60:120=10:x$

$x$ de hecho, representa la cantidad de anillos que hay en el joyero de María.

Para conservar la proporcionalidad (o sea, que la relación siga siendo la misma) $x$ debe ser igual a $20$.

En otras palabras, María tiene $20$ anillos en su joyero.

Proporcionalidad inversa

Ejercicio de ejemplo

Ana preparó una buena cantidad de empanadas de carne súper sabrosas, con un aroma muy tentador.

Ana decidió invitar a todos sus vecinos que aman las empanadas.

A cada vecino que venga a su casa, Ana le dará un plato con $3$ empanadas.

Determina si la relación entre la cantidad de vecinos que vengan a la casa de Ana y la cantidad de empanadas que sobren es proporcionalidad inversa.

Solución

Nuestra lógica ya nos permite determinar que sí, que se cumple la proporcionalidad indirecta entre la cantidad de vecinos que vayan a la casa de Ana y la cantidad de empanadas que queden en la bandeja, ya que cuántos más vecinos reciba Ana ofreciéndoles platos con empanadas, sobrarán menos empanadas.

Para verlo claramente trazaremos una tabla de valores de $x$ y $y$ que demostrará la relación inversa que hay entre estos dos parámetros.

$x$ -> Cantidad de invitados que van a la casa de Ana

$y$ -> Cantidad de empanadas que quedan en la bandeja

Recordemos que Ana sirve $3$ empanadas a cada invitado.

Supongamos sólo para explicar este ejemplo que Ana preparó $60$ empanadas en total.

Ilustración de tabla del archivo

Acorde a la tabla, podemos determinar con total certeza que se cumple la proporcionalidad inversa entre la cantidad de invitados de Ana y la cantidad de empanadas sobrantes.

Cuando la cantidad de invitados se duplica la cantidad de empanadas restantes disminuye, no en la misma relación que los invitados que aumentan.