Razón, proporcionalidad y escala

Una razón es una relación entre cosas u objetos y describe cuántas veces mayor o menor es cierta magnitud de otra.

Veamos un ejemplo de la vida diaria en el siguiente apartado (LINK):

Del mismo modo que leemos en español, también las matemáticas se leen de izquierda a derecha. Entonces,

combinamos las palabras escritas según su orden de aparición y las convertimos en números de izquierda a derecha.

Veamos un ejemplo (LINK)

Podemos encontrar una razón de un objeto hacia todo el conjunto.

Por ejemplo, la razón entre las manzanas y todas las demás frutas en la nevera es de $3:5$

Esto significa que entre las $5$ frutas que hay en la nevera, $3$ de ellas son manzanas.

Las razones equivalentes son aquellas que nos podemos encontrar escritas de forma diferente pero nos representan la misma razon o relación, a la hora de simplificar o amplificar las fracciones se obtendra el mismo cociente.

¿Recuerdas que habíamos dicho que la razón puede mostrársenos en forma de fracción?

Entonces podemos aplicar la misma regla para las razones, podemos reducir ambos términos de la razón o amplificarlos y llegar a razones equivalentes.

Para resolver este tipo de problemas con facilidad siempre intentaremos llegar a la razón más pequeña.

Para simplificarlas nos preguntaremos por qué número podemos dividir ambos términos de la razón, de este modo llegaremos a la razón equivalente más reducida posible.

Veamos el siguiente ejemplo en este apartado (LINK):

Nos preguntaremos: ¿Llegaremos con reducción o con amplificación a la misma razón?

Para determinar si dos o más razones son equivalentes, se debe buscar un número que multiplicando o dividiendo ambos términos de una de las razones llegamos a la otra razón dada

Veamos algunos ejemplos (LINK):

En una repartición adecuada a cierta razón dada tendremos una cantidad definida que deberemos dividir según dicha razón. Es decir, esto sucede cuando tenemos que repartir cierta cantidad u objetos de acuerdo a una razón determinada.

Veamos como podemos definir esta situación con algunos ejemplos, como los que se muestran a continuación:

Por ejemplo... (link)

Proporcionalidad es sinónimo de relación de equivalencia. En la vida diaria solemos utilizar expresiones como «tomar las cosas en forma relativa» y eso significa comparar y tomar las cosas en su debida importancia... Es decir, en la precisa relación de lo que está ocurriendo realmente, sin exagerar.

¿Cómo saber si hay proporcionalidad entre las razones?

Del mismo modo que hemos hecho en el capítulo de razones equivalentes, para averiguar si existe una relación de equivalencia (proporcionalidad entre las razones),

simplificaremos las razones.

Aplicaremos la mayor reducción posible (con el número más alto por el que podamos dividir sin resto) y veremos si llegamos a la misma razón.

Veamos un ejemplo en el siguiente árticulo (link)

A veces se nos dará sólo una razón entera con sus dos términos correspondientes y un tercer dato que es parte de otra razón.

Por lo general, se afirmará que hay proporcionalidad entre las razones y que debemos hallar el dato que falta en la razón.

¿Cómo se solucionan los problemas en los que falta un número de la proporción?

1. Identificaremos la razón dada en la pregunta entre ambos términos y la anotaremos en forma de fracción.
2. La compararemos con la otra razón (también en forma de fracción) que incluye el tercer dato de la pregunta y también la incógnita $X$.
3. Despejaremos la $X$.

En el siguiente árticulo veamos un ejemplo (link)

¿Qué es la proporcionalidad directa?

La proporcionalidad directa indica una situación en la cual, cuando un término se multiplica una cierta cantidad de veces, al segundo término le ocurre exactamente lo mismo.

De la misma manera, cuando un término se divide una cierta cantidad de veces, al segundo término le ocurre exactamente lo mismo.

La razón entre ambas magnitudes se mantiene constante.

Veamos un ejemplo de la vida diaria en el siguiente (link)

La proporcionalidad inversa indica una situación en la cual, cuando un término se multiplica una cierta cantidad de veces, el segundo término se ve disminuido por la misma cantidad de veces y viceversa.

La razón entre ambas magnitudes se mantiene constante.

Veamos un ejemplo de la vida diaria en el siguiente (link):

Escala es una expresión sinónima a la palabra razón.

Las preguntas sobre escala se ocupan de la relación entre las dimensiones reales de un objeto y las del dibujo que lo representa.

¿Cómo se leen las escalas?

A la izquierda aparece la dimensión de la representación gráfica o mapa

A la derecha aparece la dimensión real.

Sugerencia:

¿Cómo puedes recordar que a la izquierda siempre se ve la escala del esquema o dibujo?

En la palabra izquierda y en la palabra esquema aparece la letra $q$.

Nota: Cuando escribimos escalas debemos utilizar las mismas unidades de medida en el esquema y en el mundo real.

Si tienes, por ejemplo, una dimensión dada en centímetros en el esquema y en la realidad está en metros, se deben convertir las unidades para que sean idénticas y sólo luego anotarlas en la escala.

Veamos un ejemplo (Link):

¿Cómo determinamos si dos razones son proporcionales?

Primero debemos de acomodar los datos de los dos términos en las dos razones, es decir, en forma de cociente o fracción, después tenemos dos maneras de comprobarlo:

Primera manera

Tenemos que buscar un número que al ser multiplicado o divido en algunas de las razones o en ambas, nos den la misma razón. Es decir, podemos simplificar o amplificar las fracciones para observar que sea la misma razón, ya que dos razones son proporcionales si son razones equivalentes.

Ejemplo:

Tomemos las siguientes dos razones, $3\colon8$ y $12\colon32$

¿Son proporcionales?

Las acomodamos en forma de cociente o fracción

$\frac{3}{8}$ y $\frac{12}{32}$

Ahora veamos si amplificamos o simplificamos alguna o ambas razones, en este caso vamos a amplificar la primer razón multiplicándola por 4 ambos términos, como sigue:

$\frac{3\cdot4}{8\cdot4}=\frac{12}{32}$

Y vemos que al amplificar la razón nos dio la segunda razón, por lo tanto son razones equivalentes.

Solución

Al ser razones equivalentes, entonces son proporcionales.

Segunda manera.

Una vez acomodados los elementos de las razones, podemos multiplicar de forma cruzada, y si nos da el mismo resultado, entonces decimos que las razones son proporcionales.

Por ejemplo:

Tomemos las siguientes dos razones, $5\colon3$ y $15\colon9$

¿Son proporcionales estas razones?

Las acomodamos en forma de cociente, de la siguiente manera

$\frac{5}{3}$ y $\frac{15}{9}$

Ahora multipliquemos en forma cruzada, como se muestra a continuación:

$\left(5\right)\left(9\right)=45$

$\left(3\right)\left(15\right)=45$

Podemos observar que la multiplicación cruzada nos dio $45$ para los dos casos, entonces son razones equivalentes.

Rspuesta:

Si son proporcionales.

¿Qué es una razón en matemáticas?

Una razón es una relación o comparación entre magnitudes, personas u objetos, escrita en forma de una fracción.

¿Qué es una proporcionalidad?

Es una relación entre dos razones, en donde las razones son equivalentes.

¿Qué es una proporcionalidad directa?

Cuando relacionamos dos razones o comparamos dos magnitudes, decimos que son proporcionalidad directa si una de ellas aumenta, también crece la otra magnitud de la misma manera o si una de ellas disminuye también lo hace la otra en la misma proporcionalidad.

¿Para qué sirve una escala?

Una escala se usa para representar objetos, o partes de la realidad en un mapa, plano o dibujo, de tal manera que no se deforme las relaciones que guardan entre si los elementos que los componen.

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