Transposición de términos y dominio de ecuaciones de una incógnita.

En este artículo aprenderemos qué es el dominio de una ecuación (también llamado el conjunto donde la ecuación está bien definida), veremos varios ejemplos que nos enseñarán a utilizarla.

El dominio de una ecuación (o conjunto solución) es el conjunto de todos los números reales que se pueden colocar en la ecuación manteniéndola definida y correcta acorde a las propiedades matemáticas.

En este artículo sólo nos enfocaremos en diferentes casos para examinar cuál es el conjunto solución que permitirá que la expresión matemática siga siendo legítima:

Enseguida veremos que no se trata de un tema tan complicado. Comencemos con un ejercicio sencillo.

Observemos esta ecuación:

$\frac{2}{X}=4$

Como hemos aprendido:

En matemática no se puede dividir por $0$. Es decir, ¡hacerlo derivaría en una expresión inválida!

Recalquemos:

Jamás escribiremos un $0$ en el denominador. Siempre constataremos que el denominador no sea cero.

Esto es lo primero que examinaremos en nuestro conjunto solución.

Volvamos a la ecuación:

$\frac{2}{X}=4$

Notemos directamente que el del denominador es igual a cero cuando $X=0$, entonces el conjunto solución es toda $X$ que no sea $0$.

$\frac{2}{(5-X)}=10$

Se trata de una ecuación con fracción en la que la incógnita aparece en el denominador. El denominador no puede ser cero, por lo tanto sería expresión que no está definida en los números reales, entonces:

$5-X=0$

Utilizando la transposición de términos tenemos que:

$X=5$

Por lo tanto, el dominio de la ecuación son todos los números reales tales que $X≠5$

$\frac{4}{X-1}=2$

Se trata de una ecuación con fracción en la que la incógnita aparece en el denominador. El denominador no puede ser cero, por lo tanto no sería real, así:

$X-1=0$

Usando transposición de términos tenemos que:

$X=1$

Por lo tanto, el dominio de la ecuación son todos los números reales excepto cuando $X=1$

En el ejercicio

$\sqrt{X}=4$

Constatamos que la expresión en la raíz no sea negativa.

Lo anotaremos del siguiente modo:

o, en palabras: el conjunto solución es toda $X$ igual o mayor que cero.

$\sqrt{X}=4$

Nos aseguraremos de que la expresión dentro de la raíz no sea negativa.

Lo escribiremos así:

$X≥0$

Por lo tanto, el dominio de la ecuación es cualquier $X$ que sea mayor o igual a cero.

Éste es un ejemplo un poco más complejo, pero nos ayudará a entender el significado del conjunto solución.

Aunque por ahora no sepas resolver una ecuación así está bien, lo importante en este momento es el conjunto de número reales donde la ecuación está bien definida.

Observemos la ecuación:

$\frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-3}$

Recordemos que el denominador no puede ser $0$. En este caso tenemos dos fracciones, o sea, dos denominadores diferentes. Debemos verificar que ninguno de los dos sea igual a cero. Averiguaremos cuál es el conjunto donde la ecuación está bien definida, por lo que vemos cuando los denominadores son iguales a cero:

$X-2=0$

y

$X-3=0$

Utilizando la transposición de términos obtenemos que la ecuación no está definida con:

$X=2$

$X=3$

Es decir, la ecuación está bien definida para todos los números reales excepto para $X=2$ y $X=3$.

Si hubiéramos tenido más denominadores habríamos tenido que controlar a cada uno de ellos para corroborar que ninguno tuviera el valor $0$.

Ecuación sin solución (ejercicio para alumnos avanzados)

Éste es un ejercicio para alumnos avanzados (requiere entendimiento sobre la solución de ecuaciones y conocimiento con ecuaciones que no tienen solución)

Observemos la ecuación:

$\frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-2}$

Primeramente, como en todos los casos en los que tenemos una variable en el denominador, averiguaremos cuál es el conjunto de números donde la ecuación está bien definida.

Debemos corroborar que el denominador no sea equivalente a $0$.

En este caso queda claro que el conjunto solución es:

Todos los números reales X con $X≠2$

Ahora continuaremos con el ejercicio.

Multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por el denominador común y obtendremos:

$\frac{X-1}{X-2} \times (x-2) =\frac{1}{X-2} \times (x-2)$

$X-1=1$

$X=2$

Es decir, nos dio por resultado $X=2$. Sin embargo, recordemos el conjunto donde la ecuación está bien definida es:

Todos los números reales X tales que $X≠2$

Eso quiere decir que el resultado que obtuvimos no se encuentra dentro del dominio de la ecuación. Por consiguiente, este ejercicio carece de solución. Este ejercicio remarca por qué es tan importante que siempre controlemos el dominio de las ecuaciones. .

$\sqrt{X}=4$

Cuando tenemos una incógnita en la raíz, recordaremos que la expresión dentro de la raíz no puede ser negativa, o sea, debe ser igual o mayor que $0$. De otro modo sería una expresión inválida.

$\sqrt{(-5)}$

no es válida y tampoco está definida matemáticamente.

La expresión:$\sqrt{0}$

es válida: $\sqrt{0}=0$

Volvamos a nuestro ejercicio

$\sqrt{X}=4$

Primeramente, averiguaremos cuál es el conjunto de números donde la ecuación está bien definida, es decir, constataremos que la expresión en la raíz no sea negativa. Lo anotaremos del siguiente modo:

$X≥0$

o, en palabras: el conjunto de números donde la ecuación está bien definida cuando $X$ es igual o mayor que cero.

Encuentra el conjunto de números donde la ecuación está bien definida

$\sqrt{X-2}=3$

Recordemos que debemos constatar que la expresión en la raíz no sea negativa, por lo tanto, escribiremos:

$X−2≥0$

Es decir,

$X≥2$

el conjunto solución es toda $X$ número real donde $X$ es igual o mayor que $2$.

Existen otros casos en los que podríamos obtener expresiones matemáticas inválidas o indefinidas que influyan en el dominio de la ecuación, pero por ahora será suficiente que controlemos lo siguiente:

• El denominador nunca es $0$
• La expresión en la raíz no sea negativa

¿Cuándo no está bien definida una ecuación que involucra una fracción?

Cuando el denominador es igual a cero, es decir, la parte de abajo de la fracción.

¿Cuándo no está bien definida una ecuación que involucra una raíz?

Cuando el radicando es menor que cero, es decir, el número que está dentro de la raíz no puede ser negativo.

¿Cuál es el método de transposición?

Es el método utilizado en las ecuaciones de una incógnita para aislar la variable.

¿Cómo encontrar el dominio de una ecuación?

Con el método de transposición de términos identificamos los números donde la ecuación no está bien definida, es decir, los números donde un denominador de una fracción es cero o donde el radicando de una raíz es negativo.

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